Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $$\sum_{k=0}^{p} x^k \cdot\sum_{\ell=0}^{q} x^{\ell}\cdot\sum_{m=0}^{r} x^m=\dfrac{(1-x^{p+1})(1-x^{q+1})(1-x^{r+1})}{(1-x)^{3}}$$-ийн $x^s$-ийн коэффициенттэй тэнцүү. $$[x^k]\dfrac{1}{(1-x)^3}=\binom{-3}{\phantom{-}k}(-1)^k=\dfrac{-3\cdot(-4)\cdots(-3-k+1)}{k!}(-1)^k=\dfrac{(k+1)(k+2)}{2!}$$

Бодолт: \begin{align*} A(x)&=\dfrac{(1-x^{p+1})(1-x^{q+1})(1-x^{r+1})}{(1-x)^{3}}\\ &=(1-x^{r+1}-x^{q+1}-x^{p+1}+x^{r+q+2}+x^{r+p+2}+x^{q+p+2}+x^{r+q+p+3})\sum_{k}\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}x^k \end{align*} $p < q+r$ үед $2s=r+q+p<2(q+r)$ ба $2s=r+q+p>2p$ тул эхний олон гишүүнтийн $s$-ээс хэтрэхгүй зэрэгтэй хэсэг нь $$1-x^{r+1}-x^{q+1}-x^{p+1}$$ байна. Иймд \begin{align*} [x^s]A(x)&=\dfrac{1}{2!}\big((s+1)(s+2)-(s-r)(s-r+1)-(s-q)(s-q+1)-(s-p)(s-p+1)\big)\\ &=\dfrac{1}{2!}\big(s^2+3s+2-(s-r)^2-(s-q)^2-(s-p)^2-(s-r)-(s-q)-(s-p)\big)\\ &=\dfrac{1}{2!}\big(s^2+2s+2-(s-r)^2-(s-q)^2-(s-p)^2\big)\\ &=\dfrac{1}{2!}\big(s^2+2s+2-3s^2+2s(r+p+q)-(r^2+q^2+r^2)\big)\\ &=\dfrac{1}{2!}\big(s^2+2s+2-3s^2+2s\cdot 2s-(r^2+q^2+r^2)\big)\\ &=s^2+s+1-\dfrac{1}{2}(r^2+q^2+r^2) \end{align*} $q+r < p$ бол цагаан ба улаан бөмбөгийг дурын аргаар 2 хэсэгт хуваагаад хар бөмбөгөөр тэнцүүлэх боломжтой тул $$(r+1)(q+1)$$