Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №16344
$x\ne0$ үед $f(x)=\dfrac{x^2+1}{2x}$ байг. $f^{(0)}(x)=x$, $f^{(n)}(x)=f(f^{(n-1)}(x))$. $x\ne-1,0,1$ ба $n\ge0$ бол $$\frac{f^{(n)}(x)}{f^{(n+1)}(x)}=1+\frac1{f\left(\left({\dfrac{x+1}{x-1}}\right)^{2^n}\right)}$$ гэж батал.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $p_0(x)=x$, $q_0(x)=1$, $p_n(x)=(p_{n-1}(x))^2+(q_{n-1}(x))^2$, $q_n(x)=2p_{n-1}(x)q_{n-1}(x)$ гэе. Индукцээр $f^{(n)}(x)=\dfrac{p_n(x)}{q_n(x)}$, $p_n(x)\pm q_n(x)=(x\pm1)^{2^n}$ гэж батал.
Бодолт: