Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Сорилго №2, 2019-2020
1 ширхэг 1, 2 ширхэг 2 гэх мэтчилэн 2020 ширхэг 2020 тоонуудаас тогтох олонлогоос санамсаргүйгээр сонгож гаргасан тоог $X$ гэвэл $X$ санамсаргүй хувьсагчийн математик дунджийг ол.
A. $\dfrac13$
B. $1007$
C. $1010$
D. $1347$
E. $2020$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 16.67%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Нийт
$$S=1+2+\dots+2020$$
ширхэг тоо байгаа тул сонгосон тоо $x$-тэй тэнцүү байх магадлал $\dfrac{x}{S}$ байна.
Бодолт: \begin{align*}
E(X)&=1\cdot\dfrac{1}{S}+2\cdot\dfrac{2}{S}+\dots+2020\cdot\dfrac{2020}{S}\\
&=\dfrac{1^2+2^2+\dots+2020^2}{1+2+\dots+2020}\\
&=\dfrac{\dfrac{2020\cdot(2020+1)(2\cdot 2020+1)}{6}}{\dfrac{2020\cdot (2020+1)}{2}} & &\color{WildStrawberry}{\leftarrow{1^2+2^3+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}}}\\
&=\dfrac{2\cdot 2020+1}{3}=\dfrac{4041}{3}=1347
\end{align*}