Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

Бодолт: Тэнцэтгэл бишийн тодорхойлогдох муж нь $$D\colon\left\{\begin{array}{c} x-\dfrac{1}{x}\ge 0\\ 1-\dfrac{1}{x}\ge 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c} \dfrac{(x-1)(x+1)}{x}\ge 0\\ \dfrac{x-1}{x}\ge 0 \end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c} \left[\begin{array}{c} -1\le x<0\\ x\ge1 \end{array} \right.\\ \left[\begin{array}{c} x<0\\ x\ge1 \end{array} \right. \end{array}\right.$$ тул $\left[\begin{array}{c} x<0\\ x\ge1 \end{array}\right.$ байна. Тодорхойлогдох муж дээр $1-\dfrac{1}{x}=\left(\sqrt{\dfrac{x-1}{x}}\right)^2$, $\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}=\sqrt{\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}}$ тул $$\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}-\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}>\dfrac{x-1}{x}\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}}-\sqrt{\dfrac{x-1}{x}}>\left(\sqrt{\dfrac{x-1}{x}}\right)^2$$ болно.

$x=1$ тэнцэтгэл бишийн шийд болохгүй. Иймд $1-\dfrac{1}{x}\neq 0$ гэж үзэж болно. $$\sqrt{x+1}-1>\sqrt{\dfrac{x-1}{x}}\Leftrightarrow \sqrt{x+1}>\sqrt{\dfrac{x-1}{x}}+1>0$$ болно. Сүүлийн тэнцэтгэл бишийг квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл $$x+1>\dfrac{x-1}{x}+2\sqrt{\dfrac{x-1}{x}}+1\Leftrightarrow \dfrac{x^2-x+1}{x}>2\sqrt{\dfrac{x-1}{x}}>0$$ болно. Сүүлийн тэнцэтгэл биш $x<0$ байх шийдгүй. $x>0$ гээд мөн квадрат зэрэгт дэвшүүлбэл $$\dfrac{(x^2-x+1)^2}{x^2}>\dfrac{4x-4}{x}\Leftrightarrow\dfrac{x^4+x^2+1-2x^3+2x^2-2x-4x^2+4x}{x^2}=\dfrac{(x^2-x-1)^2}{x^2}>0$$ тул $x^2-x+1\neq0$ буюу $x\neq\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ болно. Иймд тэнцэтгэл бишийн шийд $$\left]1;\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right[\cup \left]\dfrac{1+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$$