Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Комплекс тоог геометрт ашиглах
$ABC$ гурвалжны багтаасан тойргийн төв $O$-г $AB$ талын хувьд тэгш хэмтэй хувиргахад гарах цэг нь $D$ болог. Хэрвээ багтаасан тойргийн радиус $R$ бол $$CD^2=R^2+AC^2+BC^2-AB^2$$ гэж батал.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Координатын эхийг багтаасан тойргийн төв $O$ байхаар сонговол $d=a+b$ байна.
Бодолт: Координатын эхийг $O$ цэг гэвэл багтаасан тойргийн тэгшитгэл $z\overline{z}=R^2$ болно. Иймд $a\overline{a\vphantom{b}}=b\overline{b}=c\overline{c\vphantom{b}}=1$, ба $AOBD$ ромбо тул $d=a+b$ байна. Иймд
\begin{align*}
CD^2&=(d-c)(\overline{d}-\overline{c\vphantom{d}})=(a+b-c)(\overline{a\vphantom{b}}+\overline{b}-\overline{c\vphantom{b}})\\
&=3R^2+a\overline{b}-a\overline{c\vphantom{b}}+b\overline{a\vphantom{b}}-b\overline{c\vphantom{b}}-c\overline{a\vphantom{b}}-c\overline{b}
\end{align*}
Нөгөө талаас
\begin{align*}
\text{БГТ}&=R^2+AC^2+BC^2-AB^2\\
&=R^2+(a-c)(\overline{a\vphantom{b}}-\overline{c\vphantom{b}})+(b-c)(\overline{b}-\overline{c\vphantom{b}})-(a-b)(\overline{a\vphantom{b}}-\overline{b})\\
&=R^2+\cancel{a\overline{a\vphantom{b}}}-a\overline{c\vphantom{b}}-c\overline{a\vphantom{b}}+c\overline{c\vphantom{b}}+\cancel{b\overline{b}}-b\overline{c\vphantom{b}}-c\overline{b}+c\overline{c\vphantom{b}}-\cancel{a\overline{a\vphantom{b}}}+a\overline{b}+b\overline{a\vphantom{b}}-\cancel{b\overline{b}}\\
&=3R^2+a\overline{b}-a\overline{c\vphantom{b}}+b\overline{a\vphantom{b}}-b\overline{c\vphantom{b}}-c\overline{a\vphantom{b}}-c\overline{b}
\end{align*}
тул батлах зүйл батлагдав.