Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Комплекс тоог геометрт ашиглах
$ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн $AC$ ба $BD$ диагоналуудын дундаж цэг нь харгалзан $M$, $N$ байв. $$AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4MN^2$$ гэж батал.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: 
\begin{align*}
\text{3ГТ}&=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2\\
&=(a-b)(\overline{a\vphantom{b}}-\overline{b})+(b-c)(\overline{b}-\overline{c\vphantom{b}})+(c-d)(\overline{c\vphantom{d}}-\overline{d})+(d-a)(\overline{d}-\overline{a\vphantom{d}})\\
&=2(a\overline{a\vphantom{b}}+b\overline{b}+c\overline{c\vphantom{b}}+d\overline{d})-(a\overline{b}+\overline{a\vphantom{b}}b+b\overline{c\vphantom{b}}+\overline{b}c+c\overline{d}+\overline{c\vphantom{b}}d+d\overline{a\vphantom{b}}+\overline{d}a)
\end{align*}
Нөгөө талаас
\begin{align*}
\text{БГТ}&=AC^2+BD^2+4MN^2\\
&=(a-c)(\overline{a\vphantom{b}}-\overline{c\vphantom{b}})+(b-d)(\overline{b}-\overline{d})+4(m-n)(\overline{m\vphantom{d}}-\overline{n\vphantom{d}})\\
&=(a-c)(\overline{a\vphantom{b}}-\overline{c\vphantom{b}})+(b-d)(\overline{b}-\overline{d})+4\Big(\dfrac{a+c}{2}-\dfrac{b-d}{2}\Big)\Big(\dfrac{\overline{a\vphantom{d}}+\overline{c\vphantom{d}}}{2}-\dfrac{\overline{b}+\overline{d}}{2}\Big)\\
&=(a-c)(\overline{a\vphantom{b}}-\overline{c\vphantom{b}})+(b-d)(\overline{b}-\overline{d})+(a+c-b-d)(\overline{a\vphantom{d}}+\overline{c\vphantom{d}}-\overline{b}-\overline{d})\\
&=a\overline{a\vphantom{b}}-\cancel{a\overline{c\vphantom{b}}}-\cancel{c\overline{a\vphantom{b}}}+c\overline{c\vphantom{b}}+
b\overline{b}-\cancel{b\overline{d}}-\cancel{d\overline{b}}+d\overline{d}+a\overline{a\vphantom{b}}+\cancel{a\overline{c\vphantom{b}}}-a\overline{b}-c\overline{d}+\cancel{c\overline{a\vphantom{b}}}+c\overline{c\vphantom{b}}-c\overline{b}-c\overline{d}\\
&\phantom{{}={}}-b\overline{a\vphantom{b}}-b\overline{c\vphantom{b}}+b\overline{b}+
\cancel{b\overline{d}}-d\overline{a\vphantom{b}}-d\overline{c\vphantom{b}}+\cancel{d\overline{b}}+d\overline{d}\\
&=2(a\overline{a\vphantom{b}}+b\overline{b}+c\overline{c\vphantom{b}}+d\overline{d})-(a\overline{b}+\overline{a\vphantom{b}}b+b\overline{c\vphantom{b}}+\overline{b}c+c\overline{d}+\overline{c\vphantom{b}}d+d\overline{a\vphantom{b}}+\overline{d}a)
\end{align*}
тул батлах зүйл батлагдав.