Монгол Бодлогын Сан

$ABCD$ тэгш өнцөгт хэлбэртэй цөөрмийн $D$ цэгт завьтай хүн байв. Завьчин $B$ цэгт очихоор төлөвлөжээ. Завь 4 км/ц хурдтай хөвөх бөгөөд завьнаасаа буугаад 5 км/ц хурдтай алхдаг. Хэрэв $AD=3$ км, $AB=5$ км бол $AB$ хэрчмийн аль цэг дээр завиа орхиод цааш алхаж $B$ цэгт хүрэхэд нийт зарцуулсан хугацаа хамгийн багадаа хэд байх вэ?

Бодолт: $AM=x$ байг. Тэгвэл $BM=5-x$, $DM=\sqrt{x^2+\fbox{a}}$ нийт хугацааг $t(x)$ гэвэл $[0;5]$ завсарт $t(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+\fbox{a}}}{4}+\dfrac{5-x}{5}$ (хугацаа цагаар) функц тодорхойлогдоно. Дээрх функцийн хамгийн бага утгыг олохын тулд уламжлалыг нь авбал $$t^\prime(x)=\dfrac{\fbox{b}x-\fbox{c}\sqrt{x^2+\fbox{a}}}{20\sqrt{x^2+\fbox{a}}}.$$ Эндээс функцийн сэжигтэй цэг $x=\fbox{d}$ байна. $[0;5]$ хэрчим дээрх функцийн хамгийн бага утгыг тооцоолвол $t(\fbox{d})=1.4\fbox{e}$, $t(0)=1.7\fbox{f}$, $t(5)=\dfrac{1}{4}\sqrt{\fbox{g}4}$ ба $t(\fbox{d}) < t(5) < t(0)$ тул $t(\fbox{d})=1.4\fbox{e}$ цаг байна.

---