Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$x=\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}$, $y=\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}$ бол дараах илэрхийллүүдийн утгыг ол.

байна.

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар: $x^n+y^n$ хэлбэрийн илэрхийллийг $x+y$, $x\cdot y$-ээр илэрхийлж болдог.

Бодолт:

$$\begin{aligned}[t] x+y&=\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}+\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}\\ &=\dfrac{(\sqrt3-\sqrt2)^2+(\sqrt3+\sqrt2)^2}{(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)}\\ &=\dfrac{(3-2\sqrt6+2)+(3+2\sqrt6+2)}{3-2}=10 \end{aligned}$$
$$\begin{aligned}[t] x\cdot y&=\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{\sqrt3-\sqrt2}=1 \end{aligned}$$
$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=10^2-2\cdot 1=98$
$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=10^3-3\cdot 1\cdot 10=970$
$x^5+y^5=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-(xy)^2(x+y)$ тул $$x^5+y^5=98\cdot 970-1^2\cdot 10=95050$$ байна.