Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Квадрат функц, Башмаков
- a-ийн ямар утгуудад ax2−(a2+3)x+2=0 тэгшитгэл хоёр ялгаатай тэмдэгтэй шийдтэй байх вэ?
- a-ийн ямар утгуудад ax2−(3a−3)x+4a−4=0 тэгшитгэлийн нэг бодит шийд 1-ээс их, нөгөө бодит шийд 1-ээс бага байх вэ?
- a-ийн ямар утгуудад [1,2] хэрчмийн тоо бүр x2+(a−2)x−a≤0 тэнцэтгэл бишийн шийд болох вэ?
- a-ийн ямар утгуудад 2x2+ax−5>0 тэнцэтгэл бишийн ядаж нэг шийд |x|<1 нөхцөлийг хангах вэ?
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт:
- Виетийн теоремоор x1⋅x2=2a. x1, x2 ялгаатай тэмдэгтэй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь x1⋅x2<0 тул 2a<0⇔a≤0.
- Тэгшитгэлээ a-д хуваавал x2−3a−3ax+4a−4a=0 болно. Квадрат тэгшитгэлийн шийдийн байршил шинжлэх томьёогоор нэг бодит шийд 1-ээс их, нөгөө бодит шийд 1-ээс бага байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь f(1)<0 буюу 12−3a−3a+4a−4a<0⇔2a−1a<0 тул 0<a<12 байна.
- f(x)=x2+(a−2)x−a параболын [1,2] хэрчим дэх хамгийн их утга нь M=max байна. Бодлогын нөхцөлөөс M\le 0 тул \left\{\begin{array}{c} 1^2+(a-2)\cdot 1-a\le 0\\ 2^2+(a-2)\cdot 2-a\le 0\\ \end{array} \right. буюу a\le 0 байна.
- 2x^2+ax-5=0 тэгшитгэлийн шийдүүд x_1 < x_2 гэвэл 2x^2+ax-5 > 0 тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж нь ]-\infty, x_1[\cup ]x_2,+\infty[ байна. Энэ муж |x| < 1 буюу -1 < x < 1 мужтай огтлолцохгүй бол x_1 < -1 ба x_2 >1 байна. Иймд огтлолцох нөхцөл нь x_1 > -1 эсвэл x_2 < 1 байна. x_1 < x_2 тул энэ нь -1 < x_1 < x_2 эсвэл x_1 < x_2 < 1 болох тул тэгшитгэлийн хоёр шийд хоёулаа -1-ээс их юмуу 1-ээс бага байна гэсэн нөхцөл болно. Эдгээр нөхцөлийг шийдийн байршилын томьёо ашиглан бичвэл \left\{\begin{array}{c} a^2-4\cdot 2\cdot (-5) > 0\\ -\dfrac{a}{4} > -1\\ 2\cdot (-1)^2+a\cdot(-1)-5>0 \end{array}\right.\bigcup \left\{\begin{array}{c} a^2-4\cdot 2\cdot (-5) > 0\\ -\dfrac{a}{4} < 1\\ 2\cdot 1^2+a\cdot 1-5>0 \end{array}\right. буюу a <-3 \cup a>3\Leftrightarrow a\in]-\infty,-3[\cup]3,+\infty[ үед 2x^2+ax-5>0 тэнцэтгэл бишийн ядаж нэг шийд |x| < 1 нөхцөлийг хангана.