Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Квадрат функц, Башмаков
- $a$-ийн ямар утгуудад $ax^2-(a^2+3)x+2=0$ тэгшитгэл хоёр ялгаатай тэмдэгтэй шийдтэй байх вэ?
- $a$-ийн ямар утгуудад $ax^2-(3a-3)x+4a-4=0$ тэгшитгэлийн нэг бодит шийд 1-ээс их, нөгөө бодит шийд 1-ээс бага байх вэ?
- $a$-ийн ямар утгуудад $[1,2]$ хэрчмийн тоо бүр $x^2+(a-2)x-a \le 0$ тэнцэтгэл бишийн шийд болох вэ?
- $a$-ийн ямар утгуудад $2x^2+ax-5>0$ тэнцэтгэл бишийн ядаж нэг шийд $|x| < 1$ нөхцөлийг хангах вэ?
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт:
- Виетийн теоремоор $x_1\cdot x_2=\dfrac{2}{a}$. $x_1$, $x_2$ ялгаатай тэмдэгтэй байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь $x_1\cdot x_2 < 0$ тул $\dfrac{2}{a}<0\Leftrightarrow a\le 0$.
- Тэгшитгэлээ $a$-д хуваавал $x^2-\dfrac{3a-3}{a}x+\dfrac{4a-4}{a}=0$ болно. Квадрат тэгшитгэлийн шийдийн байршил шинжлэх томьёогоор нэг бодит шийд 1-ээс их, нөгөө бодит шийд 1-ээс бага байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь $f(1)<0$ буюу $$1^2-\dfrac{3a-3}{a}+\dfrac{4a-4}{a}<0\Leftrightarrow \dfrac{2a-1}{a}<0$$ тул $0 < a < \dfrac{1}{2}$ байна.
- $f(x)=x^2+(a-2)x-a$ параболын $[1,2]$ хэрчим дэх хамгийн их утга нь $M=\max\{f(1),f(2)\}$ байна. Бодлогын нөхцөлөөс $M\le 0$ тул \[\left\{\begin{array}{c} 1^2+(a-2)\cdot 1-a\le 0\\ 2^2+(a-2)\cdot 2-a\le 0\\ \end{array} \right.\] буюу $a\le 0$ байна.
- $2x^2+ax-5=0$ тэгшитгэлийн шийдүүд $x_1 < x_2$ гэвэл $2x^2+ax-5 > 0$ тэнцэтгэл бишийн шийдийн муж нь $]-\infty, x_1[\cup ]x_2,+\infty[$ байна. Энэ муж $|x| < 1$ буюу $-1 < x < 1$ мужтай огтлолцохгүй бол $x_1 < -1$ ба $x_2 >1$ байна. Иймд огтлолцох нөхцөл нь $x_1 > -1$ эсвэл $x_2 < 1$ байна. $x_1 < x_2$ тул энэ нь $-1 < x_1 < x_2$ эсвэл $x_1 < x_2 < 1$ болох тул тэгшитгэлийн хоёр шийд хоёулаа $-1$-ээс их юмуу $1$-ээс бага байна гэсэн нөхцөл болно. Эдгээр нөхцөлийг шийдийн байршилын томьёо ашиглан бичвэл \[\left\{\begin{array}{c} a^2-4\cdot 2\cdot (-5) > 0\\ -\dfrac{a}{4} > -1\\ 2\cdot (-1)^2+a\cdot(-1)-5>0 \end{array}\right.\bigcup \left\{\begin{array}{c} a^2-4\cdot 2\cdot (-5) > 0\\ -\dfrac{a}{4} < 1\\ 2\cdot 1^2+a\cdot 1-5>0 \end{array}\right.\] буюу \[ a <-3 \cup a>3\Leftrightarrow a\in]-\infty,-3[\cup]3,+\infty[\] үед $2x^2+ax-5>0$ тэнцэтгэл бишийн ядаж нэг шийд $|x| < 1$ нөхцөлийг хангана.