Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №19721
Тойрогт багтсан ABCD дөрвөн өнцөгтийн талууд AB=2, BC=3, CD=1 ба ∡ABC=60∘ байв. Тэгвэл
- AC, багтаасан тойргийн радиус R ба sin^BAC-г ол.
- BD, sin^BCD ба SBCD-г ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт:
ABC гурвалжнуудад косинусын теорем бичвэл
BC2=22+32−2⋅2⋅3⋅cos60∘=7⇒BC=√7
Синусын теоремоор
R=AC2sin60∘=√7√3=√213
Мөн ABC гурвалжинд синусын теорем бичвэл
3sin∠BAC=√7sin60∘⇒sin∠BAC=3⋅√32√7=3√2114
болно.
ABC гурвалжинд косинусын теорем бичвэл cos∠BAC=(√7)2+22−322⋅2⋅√7=√714 Нөгөө талаас ∠BDC=∠BAC болохыг тооцоод DBC гурвалжинд косинусын теорем бичвэл 32=12+BD2−2⋅1⋅BD⋅√714 буюу BD2−BD√7−8=0 ба BD>0 тул BD=1√7+√17−4⋅(−8)2=8√7=8√77 болно. Синусын теоремоор 3sin∠CDB=8√77sin∠BCD тул sin∠BCD=8√721⋅sin∠CDB=8√721⋅sin∠BAC=8√721⋅3√2114=4√37 болно. Иймд SBCD=12⋅BC⋅CD⋅sin∠BCD=12⋅1⋅3⋅4√37=6√37

ABC гурвалжинд косинусын теорем бичвэл cos∠BAC=(√7)2+22−322⋅2⋅√7=√714 Нөгөө талаас ∠BDC=∠BAC болохыг тооцоод DBC гурвалжинд косинусын теорем бичвэл 32=12+BD2−2⋅1⋅BD⋅√714 буюу BD2−BD√7−8=0 ба BD>0 тул BD=1√7+√17−4⋅(−8)2=8√7=8√77 болно. Синусын теоремоор 3sin∠CDB=8√77sin∠BCD тул sin∠BCD=8√721⋅sin∠CDB=8√721⋅sin∠BAC=8√721⋅3√2114=4√37 болно. Иймд SBCD=12⋅BC⋅CD⋅sin∠BCD=12⋅1⋅3⋅4√37=6√37