Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №19721
Тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талууд $AB=2$, $BC=3$, $CD=1$ ба $\measuredangle ABC=60^{\circ}$ байв. Тэгвэл
- $AC$, багтаасан тойргийн радиус $R$ ба $\sin\widehat{BAC}$-г ол.
- $BD$, $\sin\widehat{BCD}$ ба $S_{BCD}$-г ол.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: 
$ABC$ гурвалжнуудад косинусын теорем бичвэл
$$BC^2=2^2+3^2-2\cdot2\cdot3\cdot\cos 60^\circ=7\Rightarrow BC=\sqrt{7}$$
Синусын теоремоор
$$R=\dfrac{AC}{2\sin 60^\circ}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{21}}{3}$$
Мөн $ABC$ гурвалжинд синусын теорем бичвэл
$$\dfrac{3}{\sin\angle BAC}=\dfrac{\sqrt{7}}{\sin 60^\circ}\Rightarrow \sin\angle BAC=\dfrac{3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\dfrac{3\sqrt{21}}{14}$$
болно.
$ABC$ гурвалжинд косинусын теорем бичвэл $$\cos\angle BAC=\dfrac{(\sqrt{7})^2+2^2-3^2}{2\cdot 2\cdot\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{7}}{14}$$ Нөгөө талаас $\angle BDC=\angle BAC$ болохыг тооцоод $DBC$ гурвалжинд косинусын теорем бичвэл $$3^2=1^2+BD^2-2\cdot 1\cdot BD\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{14}$$ буюу $$BD^2-\dfrac{BD}{\sqrt{7}}-8=0$$ ба $BD>0$ тул $$BD=\dfrac{\frac{1}{\sqrt{7}}+\sqrt{\frac17-4\cdot(-8)}}{2}=\dfrac{8}{\sqrt{7}}=\dfrac{8\sqrt{7}}{7}$$ болно. Синусын теоремоор $$\dfrac{3}{\sin\angle CDB}=\dfrac{\frac{8\sqrt{7}}{7}}{\sin\angle BCD}$$ тул $$\sin\angle BCD=\dfrac{8\sqrt{7}}{21}\cdot\sin\angle CDB=\dfrac{8\sqrt{7}}{21}\cdot\sin\angle BAC=\dfrac{8\sqrt{7}}{21}\cdot\dfrac{3\sqrt{21}}{14}=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}$$ болно. Иймд $$S_{BCD}=\dfrac12\cdot BC\cdot CD\cdot\sin\angle BCD=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 3\cdot\dfrac{4\sqrt{3}}{7}=\dfrac{6\sqrt{3}}{7}$$
$ABC$ гурвалжинд косинусын теорем бичвэл $$\cos\angle BAC=\dfrac{(\sqrt{7})^2+2^2-3^2}{2\cdot 2\cdot\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{7}}{14}$$ Нөгөө талаас $\angle BDC=\angle BAC$ болохыг тооцоод $DBC$ гурвалжинд косинусын теорем бичвэл $$3^2=1^2+BD^2-2\cdot 1\cdot BD\cdot\dfrac{\sqrt{7}}{14}$$ буюу $$BD^2-\dfrac{BD}{\sqrt{7}}-8=0$$ ба $BD>0$ тул $$BD=\dfrac{\frac{1}{\sqrt{7}}+\sqrt{\frac17-4\cdot(-8)}}{2}=\dfrac{8}{\sqrt{7}}=\dfrac{8\sqrt{7}}{7}$$ болно. Синусын теоремоор $$\dfrac{3}{\sin\angle CDB}=\dfrac{\frac{8\sqrt{7}}{7}}{\sin\angle BCD}$$ тул $$\sin\angle BCD=\dfrac{8\sqrt{7}}{21}\cdot\sin\angle CDB=\dfrac{8\sqrt{7}}{21}\cdot\sin\angle BAC=\dfrac{8\sqrt{7}}{21}\cdot\dfrac{3\sqrt{21}}{14}=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}$$ болно. Иймд $$S_{BCD}=\dfrac12\cdot BC\cdot CD\cdot\sin\angle BCD=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 3\cdot\dfrac{4\sqrt{3}}{7}=\dfrac{6\sqrt{3}}{7}$$