Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

Бодолт: $n=2m$ буюу тэгш бол \begin{align*} \sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k-1}k^2& = 1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots +(-1)^{n-1}\cdot n^2\\ & = (1^2-2^2)+(3^2-4^2)+\cdots + ((2m-1)^2-(2m)^2)\\ & = -3 - 7 -\dots - (4m-1)\\ &=\dfrac{-3-(4m-1)}{2}\cdot m=-\dfrac{2m(2m+1)}{2}\\ &=-\dfrac{n(n+1)}{2} \end{align*} $n=2m+1$ буюу сондгой бол \begin{align*} \sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k-1}k^2&=\sum\limits_{k=1}^{2m+1}(-1)^{k-1}k^2=\sum\limits_{k=1}^{2m}(-1)^{k-1}k^2+(2m+1)^2\\ &=-\dfrac{2m(2m+1)}{2}+(2m+1)^2=\dfrac{(2m+1)(2m+2)}{2}=\dfrac{n(n+1)}{2} \end{align*} байна. Шийдээ нэгтгэвэл $$\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k-1}k^2=(-1)^{n+1}\dfrac{n(n+1)}{2}$$ байна.