Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $f(x)=\sum\limits_{k=1}^n \cos kx$ гэвэл $\sum\limits_{k=1}^nk\cdot\sin kx=-f'(x)$ байна.

Бодолт: Эхлээд $f(x)=\sum\limits_{k=1}^n \cos kx$ нийлбэрийг олъё. $$\cos\alpha\cdot \sin\beta=\dfrac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta))$$ тул \begin{align*} f(x)\cdot\sin x&=\sum\limits_{k=1}^n \cos kx\sin x\\ &=\dfrac12\sum_{k=1}^n(\sin(kx+x)-\sin(kx-x))\\ &=\dfrac{\sin(nx+x)+\sin nx - \sin x -\sin 0}{2} \end{align*} тул $$f(x)=\dfrac{\sin(nx+x)+\sin nx - \sin x}{2\sin x}$$ Иймд \begin{align*} \sum\limits_{k=1}^nk\cdot\sin kx&=-f'(x)\\ &=-\left(\dfrac{\sin(nx+x)+\sin nx - \sin x}{2\sin x}\right)'\\ &=\dfrac{(n+1)\sin nx - n\sin(nx+x)}{2-2\cos x} \end{align*}