Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

Бодолт: $$(1-\sqrt{2})^3=1^3 - 3\cdot 1^2\cdot \sqrt{2}+3\cdot 1^2\cdot \sqrt{2} - (\sqrt2)^3=7-5\sqrt{2}=7-\sqrt{50}$$ $$(1+\sqrt{2})^3=1^3 + 3\cdot 1^2\cdot \sqrt{2}+3\cdot 1^2\cdot \sqrt{2} + (\sqrt2)^3=7+5\sqrt{2}$$ тул $$\left(\sqrt[3]{7-5\sqrt2}+\sqrt[3]{7+\sqrt{50}}\right)\cdot9=(1-\sqrt{2}+1+\sqrt{2})\cdot 9=18$$

Заавар:

Бодолт: $7-\sqrt{50}=7-5\sqrt{2}$. $A=\sqrt[3]{7-5\sqrt2}+\sqrt[3]{7+5\sqrt2}$ гэвэл \begin{align*} A^3&=7-5\sqrt{2}+3\cdot \left(\sqrt[3]{7-5\sqrt2}\right)^2\cdot \left(\sqrt[3]{7+5\sqrt2}\right)+3\cdot \left(\sqrt[3]{7-5\sqrt2}\right)\cdot \left(\sqrt[3]{7+5\sqrt2}\right)^2+7+5\sqrt{2}\\ &=14+3\cdot \left(\sqrt[3]{7-5\sqrt2}\right)\cdot \left(\sqrt[3]{7+5\sqrt2}\right)\left(\sqrt[3]{7-5\sqrt2}+\sqrt[3]{7+5\sqrt2}\right)\\ &=14+3\cdot \sqrt[3]{(7-5\sqrt2)(7+5\sqrt2})\cdot A=14+3\cdot\sqrt[3]{-1}\cdot A=14-3A\\ \end{align*} тул $A^3+3A-14=0$. Рационал язгуурын теорем ашиглан үржвэрт задалбал $$(A-2)(A^2+2A+7)=0$$ болно. $A$ бодит тоо тул эндээс $A=2$ л байх боломжтой. Иймд $$\left(\sqrt[3]{7-5\sqrt2}+\sqrt[3]{7+\sqrt{50}}\right)\cdot9=2\cdot 9=18.$$