Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $$\int_a^bf[h(x)]\,\mathrm{d}h(x)=\int_{h(a)}^{h(b)}f(x)\,\mathrm{d}x$$ тодорхой интегралын орлуулгын томьёо ашигла.

Бодолт: $g(x)=f(x-a)+b=(x-a)^3+b$ ба $g(0)=(-a)^3+b=0$ тул $g(x)=(x-a)^3+a^3$. $$\int_a^{3a}g(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^{3a}(x-a)^3d(x-a)+\int_a^{3a}a^3\,\mathrm{d}x$$ ба $h(x)=x-a$ гээд орлуулгын томьёо хэрэглэвэл $$\int_a^{3a}(x-a)^3d(x-a)=\int_0^{2a} x^3 \,\mathrm{d}x$$ тул $$\int_{a}^{3a}g(x)\,\mathrm{d}x-\dfrac12\int_{0}^{2a}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^{3a}a^3\,\mathrm{d}x+\dfrac12\int_{0}^{2a}x^3\,\mathrm{d}x=162$$ байна. Иймд $$a^3x\bigg|_a^{3a}+\dfrac{x^4}{8}\bigg|_0^{2a}=a^3\cdot3a-a^3\cdot a+\dfrac{(2a)^4}{8}-\dfrac{0^4}{8}$$ $$=4a^4=162\Rightarrow a^4=\dfrac{81}{2}$$ байна.

Тэмдэглэл: 2006 оны С вариантын энэ бодлогын зөв хариу нь $24$ буюу E сонголт гэж байв. Хариу нь алдаатай тул D хариултанд байсан $\dfrac{1}{81}$ утгыг өөрчилсөн болно.