Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2006 C №27
$ABC$ гурвалжны $AB;BC;CA$ талууд дээр харгалзан $M;N;K$ цэгүүдийг $\dfrac{|AM|}{|MB|}=\dfrac{7}{19};\dfrac{|BN|}{|NC|}=\dfrac{11}{13};\dfrac{|CK|}{|KA|}=\dfrac{3}{7}$ байхаар авсан бол $\dfrac{S_{MNK}}{S_{ABC}}=\dfrac{\fbox{ab}}{156}$
ab = 49
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 16.08%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $S_{\triangle MNK}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AMK}-S_{\triangle BNM}-S_{\triangle CKN}$ байна. $S_{\triangle AKM}$, $S_{\triangle BMN}$, $S_{\triangle CNK}$-г $S_{\triangle ABC}$-ээр илэрхийл.
Бодолт: Зурагт үзүүлснээр $AB=26z$, $BC=24x$, $CA=10y$ тул
\begin{align*}
S_{\triangle ABC}&=\dfrac{1}{2}\cdot26z\cdot 10y\cdot\sin\alpha= 130yz\sin\alpha\\
&=\dfrac{1}{2}\cdot26z\cdot 24x\cdot\sin\beta= 312xz\sin\beta\\
&=\dfrac{1}{2}\cdot24x\cdot10y\cdot\sin\gamma= 120xy\sin\gamma\\
\end{align*}
нөгөө талаас
\begin{align*}
S_{\triangle AKM}&=\dfrac{1}{2}\cdot7z\cdot 7y\cdot\sin\alpha=\dfrac{49}{2}\cdot\dfrac{S_{\triangle ABC}}{130}\\
S_{\triangle BMN}&=\dfrac{1}{2}\cdot19z\cdot 11x\cdot\sin\beta=\dfrac{209}{2}\cdot\dfrac{S_{\triangle ABC}}{312}\\
S_{\triangle CNK}&=\dfrac{1}{2}\cdot13x\cdot3y\cdot\sin\gamma=\dfrac{39}{2}\cdot\dfrac{S_{\triangle ABC}}{120}\\
\end{align*}
Иймд
\begin{align*}
S_{\triangle MNK}&=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AMK}-S_{\triangle BNM}-S_{\triangle CKN}\\
&=\left(1-\dfrac{49}{260}^{\color{red}{(12}}-\dfrac{209}{624}^{\color{red}{(5}}-\dfrac{39}{240}^{\color{red}{(13}}\right)\cdot S_{\triangle ABC}\\
&=\dfrac{3120-588-1045-507}{3120}\cdot S_{\triangle ABC}\\
&=\dfrac{980}{3120}\cdot S_{\triangle ABC}=\dfrac{49}{156}\cdot S_{\triangle ABC}
\end{align*}
тул $$\dfrac{S_{MNK}}{S_{ABC}}=\dfrac{49}{156}$$
Нэмэлт: Энэ бодлогод ашигласан харьцаагаар хуваасан цэгүүдээр үүсэх гурвалжны талбайг том гурвалжны талбайгаар илэрхийлж байгаа аргыг өөр олон бодлогуудад ашигладаг.
Нэмэлт: Энэ бодлогод ашигласан харьцаагаар хуваасан цэгүүдээр үүсэх гурвалжны талбайг том гурвалжны талбайгаар илэрхийлж байгаа аргыг өөр олон бодлогуудад ашигладаг.