Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $\pi$ тоо нь иррационал тоон бөгөөд үүнийг дунд сургуулийн хичээлийн хүрээнд заадаггүй боловч мэдэж байх шаардлагатай.

$\sqrt6$, $\sqrt[3]{16}$ тоонуудыг $\dfrac{m}{n}$, $m$, $n\in\mathbb Z$ хэлбэрт бичиж болохгүйг харуулах төвөгтэй биш. Үетэй аравтын бутархай болон энгийн бутархай нь рационал тоонууд юм.

Бодолт: $\pi$ тоо нь зааварт өгүүлсэн ёсоор иррационал тоо юм.

$1.0(13)=1+\frac{13}{100}\big(1+\frac1{100}+\frac1{100^2}+\dots \big)=1+\frac{13}{100}\cdot\frac{1}{1-\frac1{100}}=1\dfrac{13}{99}$ тул рационал тоо болно.

$\sqrt{6}$ тоог $\dfrac{m}{n}$, $m$, $n\in\mathbb N$ байх үл хураагдах бутархай хэлбэрээр бичиж болдог гэж үзье. Тэгвэл $\sqrt{6}n=m$ болно. Үүний хоёр талыг квадрат зэрэгт дэвшүүлсний дараа $6n^2=m^2$ тэнцэтгэлийн зүүн гар тал нь $3$-д хуваагдах тул $m$ нь гуравт хуваагдах ёстой. Өөрөөр хэлбэл $m=3m_1$, $m_1\in\mathbb N$ гэж бичиж болно. Эндээс $6n^2=9m_1^2$ болох бөгөөд $2n^2=3m_1^2$ болно. Одоо тэнцэтгэлийн баруун гар тал нь $3$-д хуваагдах тул $n=3n_1$, $n\in\mathbb N$ хэлбэртэй бичигдэнэ. Эндээс $n$, $m$ нь хоёул $3$-д хуваагдах болж зөрчил үүсэж байна. Иймд $\sqrt{6}$ тоог $\dfrac{m}{n}$ хэлбэртэй бичиж болохгүй тул иррационал тоо байна.

$\sqrt[3]{16}$ тоог өмнөхтэй яг адил аргаар $\dfrac{m}{n}$ хэлбэртэй бичиж болохгүйг харуулж болох тул иррационал тоо болно.

Мэдээж $-\dfrac{5}{12}$ нь рационал тоо юм.