Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$x=a$ , $x=2a$ , $\left(0< a< 2\right)$ , $y=0$ , $y=8+2x-x^{2}$ шугамуудаар хүрээлэгдсэн дүрс $a$ -ийн ямар утганд хамгийн их талбайтай байх вэ?

$1$ B.

$\dfrac{-3+\sqrt{65} }{7}$ C.

$\dfrac{9+\sqrt{753} }{14}$ D.

$\dfrac{-9+\sqrt{753} }{14}$ E.

$\dfrac{3+\sqrt{65} }{7}$

Бодлогын төрөл: Сонгох

Амжилтын хувь: 33.84%

Заавар:

$\displaystyle f(a)=\int_a^{2a}(8+2x-x^2) \,\mathrm{d}x$ функц

$a$ -ийн ямар утганд хамгийн их утгатай байх вэ?

Бодолт: Хувьсах хилтэй интегралын уламжлал бодох томьёо ёсоор

$\begin{align*} f^\prime(a)&=\{8+2\cdot(2a)-(2a)^2\}\cdot 2-\{8+2\cdot a-a^2\}\cdot 1\\ &=(16+8a-8a^2)-(8+2a-a^2)=-7a^2+6a+8 \end{align*}$ байна.

$f^\prime(a)=0\Rightarrow a=\dfrac{-6\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot(-7)\cdot 8}}{2\cdot(-7)}=\dfrac{3\pm\sqrt{65}}{7}$ болно. Түүнчлэн

$f^{\prime\prime}(a)=-14a+6$ ба

$-14\cdot\dfrac{3+\sqrt{65}}{7}+6=-2\sqrt{65}<0$ тул

$a=\dfrac{3+\sqrt{65}}{7}$ цэг дээр максимум утгаа авна.