Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Дараах хоёр чанарыг ашиглая:

1. $ABC$ гурвалжны $AB$ тал дээр $AB':B'B=\alpha:(1-\alpha)$ байхаар $B'$ цэг авахад $$\dfrac{S_{AB'C}}{S_{ABC}}=\alpha$$ байна.
2. $ABCD$ пирамидын $AB$ ирмэг дээр $AB':B'B=\alpha:(1-\alpha)$ байхаар $B'$ цэг авахад $$\dfrac{V_{AB'CD}}{V_{ABCD}}=\alpha$$ байна.

Баталгаа. $B$ ба $B'$ цэгүүдээс $H$ ба $H'$ өндрүүд буулгавал $\triangle ABH\sim \triangle AB'H'$ тул $$\dfrac{B'H'}{BH}=\dfrac{AB'}{AB}=\dfrac{AB'}{AB'+B'B}=\dfrac{\alpha AB}{\alpha AB+(1-\alpha)AB}=\alpha$$ байна. Нөгөө талаас $S_{AB'C}=\dfrac12\cdot AC\cdot B'H'$, $S_{ABC}=\dfrac12\cdot AC\cdot BH$ тул $$\dfrac{S_{AB'C}}{S_{ABC}}=\dfrac{B'H'}{BH}=\alpha$$ 2 дахь хэсгийг үүнтэй аналогоор батална.

Бодолт:

Хажуу талсуудын талбайг $S$ гэвэл $$S_{DA_1B_1}=\dfrac12S_{DA_1B}=\dfrac12\cdot\dfrac25S=\dfrac15 S,$$ $$S_{DB_1C_1}=\dfrac25S_{DC_1B}=\dfrac25\cdot\dfrac59S=\dfrac29 S,$$ $$S_{DC_1A_1}=\dfrac59S_{DA_1C}=\dfrac59\cdot\dfrac12S=\dfrac5{18} S$$ байна. Иймд пирамидуудын хажуу гадаргуугийн харьцаа нь: $$\dfrac{\dfrac15S+\dfrac29S+\dfrac5{18}S}{3S}=\dfrac{7}{30}$$

2-р чанар ёсоор $\dfrac{V_{A_1BCD}}{V_{ABCD}}=\dfrac12$, $\dfrac{V_{A_1B_1CD}}{V_{A_1BCD}}=\dfrac25$, $\dfrac{V_{A_1B_1C_1D}}{V_{A_1B_1CD}}=\dfrac59$ байна. Эдгээрийг үржүүлбэл: $$\dfrac{V_{A_1B_1C_1D}}{V_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{5}{9}=\dfrac19$$ байна.