Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
ЭЕШ 2010 A №17
$\log_x(4x-3)=2+\sqrt{\log_x^2(4x-3)-4\log_x\Big(4-\dfrac3{x}\Big)}$ тэгшитгэл хэдэн бүхэл шийдтэй вэ?
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
E. бүхэл шийдгүй
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 19.02%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Тодорхойлогдох муж нь $x>0$, $x\neq 1$, $4x-3>0$.
$0< a<1$ үед $$\log_ax<\log_ay\Leftrightarrow x> y$$ ба $1< a$ үед $$\log_ax<\log_ay\Leftrightarrow x< y$$ байдаг.
$0< a<1$ үед $$\log_ax<\log_ay\Leftrightarrow x> y$$ ба $1< a$ үед $$\log_ax<\log_ay\Leftrightarrow x< y$$ байдаг.
Бодолт: $\log_x(4x-3)=a$ гэвэл
\begin{align*}
\log_x^2&(4x-3)-4\log_x\Big(4-\dfrac3{x}\Big)=\\
&=\log_x^2(4x-3)-4\log_x\Big(\dfrac{4x-3}{x}\Big)=\\
&=\log_x^2(4x-3)-4\log_x(4x-3)+4\log_xx=\\
&=(\log_x(4x-3)-2)^2=(a-2)^2
\end{align*}
болно. Иймд
$$\log_x(4x-3)=2+\sqrt{\log_x^2(4x-3)-4\log_x\Big(4-\dfrac3{x}\Big)}$$ тэгшитгэлийг $a=2+|a-2|$ гэж бичиж болно. $a-2=|a-2|\ge 0$ тул шийд $a\ge 2$ болно.
$$a\ge 2\Rightarrow \left[
\begin{array}{c}
0.75< x <1\, \text{ үед } \log_x(4x-3)\ge 2=\log_x x^2\Rightarrow x^2\ge 4x-3\Rightarrow x\in]0.75;1[\\
1< x\, \text{ үед } \log_x(4x-3)\ge 2=\log_x x^2\Rightarrow x^2\le 4x-3\Rightarrow x\in]1;3]
\end{array}\right.$$ тул $x=2, 3$ гэсэн 2 бүхэл шийдтэй.
Тайлбар: Бүхэл шийдийн тоог олох, шийдүүдийн нийлбэр олох зэрэг нь бодлогуудыг хариунаас бодох боломжгүйг анхаар.
Тайлбар: Бүхэл шийдийн тоог олох, шийдүүдийн нийлбэр олох зэрэг нь бодлогуудыг хариунаас бодох боломжгүйг анхаар.