Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $\sin^4x+\cos^4x=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x=1-\dfrac12\sin^22x$ адилтгалыг ашигла.

Бодолт: $$\begin{align*} \sin^4\dfrac{x}{2}+\cos^4\dfrac{x}{2}&=\Big(\sin^2\dfrac{x}{2}+\cos^2\dfrac{x}{2}\Big)^2-2\sin^2\dfrac{x}{2}\cos^2\dfrac{x}{2}\\ &=1-\dfrac12\sin^2x\\ &=1-\dfrac12\cdot\dfrac{1-\cos2x}{2}\\ &=\dfrac34+\dfrac14\cos2x<\dfrac58 \end{align*}$$ болно. Эндээс $\cos4x<-\dfrac{1}{2}$ болно. Үүнийг бодвол $$\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k<2x<\dfrac{4\pi}{3}+2\pi k \Leftrightarrow\dfrac{\pi}{3}+\pi k< x < \dfrac{2\pi}{3}+\pi k, k\in\mathbb Z$$ Энэ шийдэд агуулагдах хамгийн бага эерэг бүхэл тоо $x=2$, хамгийн их сөрөг бүхэл тоо $x=-2$ болно.