Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

Бодолт: 2-р тэгшитгэлээс $y$-ийг олбол: $y=x^{2}-2x$ болно. Үүнийг 1-д орлуулбал $8x\left({x^{2}-2x}\right)-25=0$ буюу $8x^{3}-16x^{2}-25=0$ болно. $m$ нь 25-ийн бүхэл хуваагдагч, $n$ 8-ийн натурал хуваагч байхаар ($m\in\left\{\pm 1;\pm 5;\pm 25\right\}$, $n\in\left\{1;2;4;8\right\}$) $\dfrac{m}{n}$ хэлбэрээр рационал шийдийг хайвал $x=\dfrac{5}{2}$ шийд олдоно.

Иймд $8x^{3}-16x^{2}-25=(2x-5)(4x^{2}+2x+5)=0$ болно. Энэ тэгшитгэл өөр шийдгүй тул $x=\dfrac{5}{2}$ үед $y=\dfrac{5}{4}$ болох ба $|a|\ge\dfrac{5\sqrt5}4$ үед $x^{2}+y^{2}=\dfrac{125}{16}\le a^{2}$ байна.