Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$f(x)=2\cos^22x+\cos(2x+\pi)-1$ функцийн хувьд

Үндсэн үед $T=\fbox{a}\pi$ (1 оноо)
Хамгийн их утга $\fbox{b}$ (2 оноо)
Хамгийн бага утга $-\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{d}}$ (1 оноо)
$f(x)=0$ тэгшитгэлийн шийд $x=\fbox{e}\pi k$ (1 оноо), $x=\pm\dfrac{\pi}{\fbox{f}}+\pi k,~(k\in\mathbb Z)$ байна. (1 оноо)

a = 1

b = 2

cd = 98

e = 1

f = 3

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 16.42%

Заавар:

$y=\cos ax$ функцийн үндсэн үе

$\dfrac{2\pi}{a}$ байна.

$c=\cos 2x$ ,

$-1\le c\le1$ гээд

$f(x)=g(c)$ байх

$g$ функц олж

$g(c)$ -г шинжил.

Бодолт:

$\cos(2x+\pi)=-\cos 2x$ тул

$f(x)=2\cos^22x-\cos2x-1$ . Иймд фунцкийн үе нь

$T=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$ байна.

$c=\cos2x$ гэвэл

$f(x)=g(c)=2c^2-c-1,~c=\cos x$ болно.

$c\in[-1;1]$ ба

$g^\prime(c)=4c-1=0\Rightarrow c=\dfrac14$ тул

$g(c)$ нь

$c=-1$ юмуу

$c=1$ үед хамгийн их утгатай,

$c=\dfrac14$ үед хамгийн бага утгатай байна.

$g(-1)=2\cdot(-1)^2-(-1)-1=2>g(1)=2\cdot 1^2-1-1=0$ тул

$\max f=\max g=2$ байна. Харин хамгийн бага утга нь

$g\left(\dfrac14\right)=2\cdot\left(\dfrac14\right)^2-\dfrac14-1=-\dfrac98$ байна.

$2c^2-c-1=0\Rightarrow c=1\lor c=-\dfrac{1}{2}$ тул

$f(x)=0\Leftrightarrow\Bigg[\begin{array}{c} \cos 2x=1\\ \cos 2x=-\dfrac12 \end{array}\Leftrightarrow 2x=2\pi k,~~ 2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$ тул

$x=\pi k$ ,

$x=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi k$ шийдтэй.