Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Дараах чанарыг ашигла:

Огторгуйн нэг шулуун дээр оршдоггүй $ABC$ гурван цэгээс ижил зайд алслагдах цэгүүдийн олонлог нь $\triangle ABC$-г багтаасан тойргийн төвийг дайрсан $(ABC)$ хавтгайд перпендикуляр шулуун байна.

Баталгаа. $A$, $B$, $C$ цэгүүдээс ижил зайд алслагдах $D$ цэгийг авч үзье. $$AD=BD=CD$$ ба $D$ цэгээс $(ABC)$ хавтгайд буулгасан перпендикулярын суурийг $O$ гэвэл Пифагорын теорем ёсоор $$AD^2=AO^2+OD^2,~BD^2=BO^2+OD^2,~CD^2=CO^2+OD^2$$ тул $$AO=BO=CO$$ буюу $O$ цэг нь $ABC$ гурвалжныг багтаасан тойргийн төв болно. Урвууг нь мөн адилхан баталж болно.

Бодолт: $ABC$ тэгш өнцөгт гурвалжин тул

1. $$h=DO=6\cdot\cos 45^\circ=3\sqrt2.$$
2. Гипотенузын урт $$AC=2AO=2\cdot 6\cos45^\circ=2\cdot 3\sqrt2=6\sqrt2.$$ Катетууд нь $6\sqrt2\sin30^\circ=3\sqrt2$, $6\sqrt2\cos30^\circ=3\sqrt6$. Талбай нь: $$S=\frac12\cdot 3\sqrt2\cdot 3\sqrt6=9\sqrt3.$$
3. $$V=\frac13\cdot 9\sqrt3\cdot 3\sqrt2=9\sqrt6.$$
4. $\triangle AOD$-ээс $DO=AO=BO=CO$ тул $O$ нь багтаасан бөмбөрцгийн төв байна. Иймд $$R=h=3\sqrt2.$$