Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $18^\circ$, $36^\circ$, $54^\circ$, $72^\circ$, $144^\circ$ зэрэг өнцгүүд оролцсон бодлогуудад нилээд өргөн тохиолддог бөгөөд эдгээрийн утгууд нь хоорондоо холбоотой байдаг.

$\sin54^{\circ}=\cos36^{\circ}$ тул $\theta=18^{\circ}$ гэвэл $\sin3\theta=\cos2\theta$ болно. Энэхүү тэгшитгэл болон $0<\sin18^{\circ}<\dfrac12$ болохыг ашиглан $\sin18^{\circ}$ утгыг олж болдог.

Давхар өнцгийн томьёо ашиглан хялбарчилбал $$3\sin\theta-4\sin^3\theta=1-2\sin^2\theta\Rightarrow$$ $$4\sin^3\theta-2\sin^3\theta-3\sin\theta+1=(\sin\theta-1)(4\sin^2\theta+2\sin\theta-1)=0$$ болно. $0<\sin18^{\circ}<1$ болохыг тооцвол $\sin18^{\circ}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$ байна.

Бодолт: Зааварт олсон утгыг шууд орлуулаад бодвол $$\begin{gather*} (3+\sqrt5)\sin^218^\circ=(3+\sqrt5)\bigg(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}\bigg)^2=(3+\sqrt5)\bigg(\dfrac{3-\sqrt5}{8}\bigg)\\ =\dfrac{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}{8}=\dfrac{3^2-(\sqrt5)^2}{8}=\dfrac12 \end{gather*}$$