Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №442
$x^2+\dfrac{x^2}{(x+1)^2}=a$ тэгшитгэлийн $a$ параметрийн бүх утганд бод.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: Тэгшитгэлийн зүүн гар талыг хувиргавал
$$ x^{2}+\dfrac{x^{2}}{(x+1)^{2}}=\dfrac{x^{2}(x+1)^{2}+ x^{2}}{(x+1)^{2}}=\dfrac{x^{4}+2x^{3}+2x^{2}}{(x+1)^{2}} = \left({\dfrac{x^{2}}{x+1}}\right)^{2}+2\dfrac{x^{2}}{x+ 1}$$
болно. $t=\dfrac{x^{2}}{x+1}$ орлуулга хийвэл $t^{2}+2t=a$ квадрат тэгшитгэл үүснэ. Дискриминантийг нь олбол: $\dfrac{D}{4}=1+a$. Иймд $a \ge-1$ үед $D\ge0$, $a<-1$ завсарт тэгшитгэл шийдгүй. $а=-1$ үед $t=-1$ тул эндээс $\dfrac{x^{2}}{x+1}=1$ болж $x^{2}=-x-1$ буюу $x^{2}+x+1=0$ тэгшитгэл гарна. Энэ тэгшитгэл шийдгүй тул $а=-1$ үед шийдгүй болж байна. $a\ge-1$ үед $t=1\pm\sqrt{1+a}$ $t=1-\sqrt{1+a}$ үед $\dfrac{x^{2}}{x+1}=-1-\sqrt{1+a}$ эндээс $x^{2}+(1+\sqrt{1+a})x+(1+\sqrt{1+a})=0$. Дискриминантыг нь олбол: $D=a-2-2\sqrt{1+a}$. $a$-ийн ямар утганд $D$ сөрөг биш байхыг олбол: $a-2-2\sqrt{1+a}\ge 0$ буюу $a-2\ge 2\sqrt{1+a}$. Эндээс ${\left\{{{\begin{array}{l} {a-2 \ge 0}\\ {(a-2)^{2}\ge 4(1+a)} \end{array}}}\right.} \Leftrightarrow{\left\{ {{\begin{array}{l} {a \ge 2}\\ {a^{2}-8a \ge 0 \Leftrightarrow a \in \left]{-\infty ;0}\right] \cup \left[{8;+\infty}\right[}\\ \end{array}}}\right.}$ буюу $a\in[8;+\infty)$. Иймд $a\in[8;+\infty)$ үед тэгшитгэл хоёр шийдтэй. $x_{1,2}={\dfrac{{-1-\sqrt{1+a}\pm \sqrt{a-2-2\sqrt{1+a}}}}{{2}}}$ болох ба эдгээр нь $a=8$ үед давхацна. Одоо $t=- 1+\sqrt{1+a}$ тохиолдолдыг авч үзье: ${\dfrac{{x^{2}}}{{x+1}}}=- 1+\sqrt{1+a}$. Эндээс $x^{2}+\left({1-\sqrt{1+a}}\right)x+\left({1-\sqrt{1+a}}\right)=0$ болно. Дискриминантийг нь бодвол $D=a-2+2\sqrt{1+a}$ болох ба $a-2-2\sqrt{1+a}\ge 0$ тул $2\sqrt{1+{a}}\ge a-2$ үед $D$ сөрөг биш байна. Энэ тэнцэтгэл бишийн шийд нь дараах 2 тэгшитгэлийн шийдийн нэгдэл болно: a) ${\left\{{{\begin{array}{*{20}c} {a-2 \ge 0}\\ {1+a \ge 0} \end{array}}}\right.}\Leftrightarrow{\left\{{{\begin{array}{*{20}c} {a \ge 2}\\ {a \ge-1} \end{array}}\Leftrightarrow a \ge 2}\right.}$ б) ${\left\{{{\begin{array}{*{20}c} {2-a > 0}\\ {4(1+a) \ge (2-a)^{2}}\\ \end{array}}}\right.}\Leftrightarrow{\left\{{{\begin{array}{*{20}c} {a < 2}\\ {a^{2}-8a \le 0 \Leftrightarrow a \in{\left[{0;8}\right]}} \end{array}}}\right.}\Leftrightarrow a \in{\left[{0;2}\right]}$ Иймд $a\in[0;+\infty)$ үед тэгшитгэл 2 шийдтэй: $x_{3,4}={\dfrac{{-1+\sqrt{1-a}\pm \sqrt{a-2+2\sqrt{1+a}}}}{{2}}}$ (a=0 үед шийдүүд нь давхацна).
$$ x^{2}+\dfrac{x^{2}}{(x+1)^{2}}=\dfrac{x^{2}(x+1)^{2}+ x^{2}}{(x+1)^{2}}=\dfrac{x^{4}+2x^{3}+2x^{2}}{(x+1)^{2}} = \left({\dfrac{x^{2}}{x+1}}\right)^{2}+2\dfrac{x^{2}}{x+ 1}$$
болно. $t=\dfrac{x^{2}}{x+1}$ орлуулга хийвэл $t^{2}+2t=a$ квадрат тэгшитгэл үүснэ. Дискриминантийг нь олбол: $\dfrac{D}{4}=1+a$. Иймд $a \ge-1$ үед $D\ge0$, $a<-1$ завсарт тэгшитгэл шийдгүй. $а=-1$ үед $t=-1$ тул эндээс $\dfrac{x^{2}}{x+1}=1$ болж $x^{2}=-x-1$ буюу $x^{2}+x+1=0$ тэгшитгэл гарна. Энэ тэгшитгэл шийдгүй тул $а=-1$ үед шийдгүй болж байна. $a\ge-1$ үед $t=1\pm\sqrt{1+a}$ $t=1-\sqrt{1+a}$ үед $\dfrac{x^{2}}{x+1}=-1-\sqrt{1+a}$ эндээс $x^{2}+(1+\sqrt{1+a})x+(1+\sqrt{1+a})=0$. Дискриминантыг нь олбол: $D=a-2-2\sqrt{1+a}$. $a$-ийн ямар утганд $D$ сөрөг биш байхыг олбол: $a-2-2\sqrt{1+a}\ge 0$ буюу $a-2\ge 2\sqrt{1+a}$. Эндээс ${\left\{{{\begin{array}{l} {a-2 \ge 0}\\ {(a-2)^{2}\ge 4(1+a)} \end{array}}}\right.} \Leftrightarrow{\left\{ {{\begin{array}{l} {a \ge 2}\\ {a^{2}-8a \ge 0 \Leftrightarrow a \in \left]{-\infty ;0}\right] \cup \left[{8;+\infty}\right[}\\ \end{array}}}\right.}$ буюу $a\in[8;+\infty)$. Иймд $a\in[8;+\infty)$ үед тэгшитгэл хоёр шийдтэй. $x_{1,2}={\dfrac{{-1-\sqrt{1+a}\pm \sqrt{a-2-2\sqrt{1+a}}}}{{2}}}$ болох ба эдгээр нь $a=8$ үед давхацна. Одоо $t=- 1+\sqrt{1+a}$ тохиолдолдыг авч үзье: ${\dfrac{{x^{2}}}{{x+1}}}=- 1+\sqrt{1+a}$. Эндээс $x^{2}+\left({1-\sqrt{1+a}}\right)x+\left({1-\sqrt{1+a}}\right)=0$ болно. Дискриминантийг нь бодвол $D=a-2+2\sqrt{1+a}$ болох ба $a-2-2\sqrt{1+a}\ge 0$ тул $2\sqrt{1+{a}}\ge a-2$ үед $D$ сөрөг биш байна. Энэ тэнцэтгэл бишийн шийд нь дараах 2 тэгшитгэлийн шийдийн нэгдэл болно: a) ${\left\{{{\begin{array}{*{20}c} {a-2 \ge 0}\\ {1+a \ge 0} \end{array}}}\right.}\Leftrightarrow{\left\{{{\begin{array}{*{20}c} {a \ge 2}\\ {a \ge-1} \end{array}}\Leftrightarrow a \ge 2}\right.}$ б) ${\left\{{{\begin{array}{*{20}c} {2-a > 0}\\ {4(1+a) \ge (2-a)^{2}}\\ \end{array}}}\right.}\Leftrightarrow{\left\{{{\begin{array}{*{20}c} {a < 2}\\ {a^{2}-8a \le 0 \Leftrightarrow a \in{\left[{0;8}\right]}} \end{array}}}\right.}\Leftrightarrow a \in{\left[{0;2}\right]}$ Иймд $a\in[0;+\infty)$ үед тэгшитгэл 2 шийдтэй: $x_{3,4}={\dfrac{{-1+\sqrt{1-a}\pm \sqrt{a-2+2\sqrt{1+a}}}}{{2}}}$ (a=0 үед шийдүүд нь давхацна).