Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №442
x2+x2(x+1)2=a тэгшитгэлийн a параметрийн бүх утганд бод.
Бодлогын төрөл: Уламжлалт
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: Тэгшитгэлийн зүүн гар талыг хувиргавал
x2+x2(x+1)2=x2(x+1)2+x2(x+1)2=x4+2x3+2x2(x+1)2=(x2x+1)2+2x2x+1
болно. t=x2x+1 орлуулга хийвэл t2+2t=a квадрат тэгшитгэл үүснэ. Дискриминантийг нь олбол: D4=1+a. Иймд a≥−1 үед D≥0, a<−1 завсарт тэгшитгэл шийдгүй. а=−1 үед t=−1 тул эндээс x2x+1=1 болж x2=−x−1 буюу x2+x+1=0 тэгшитгэл гарна. Энэ тэгшитгэл шийдгүй тул а=−1 үед шийдгүй болж байна. a≥−1 үед t=1±√1+a t=1−√1+a үед x2x+1=−1−√1+a эндээс x2+(1+√1+a)x+(1+√1+a)=0. Дискриминантыг нь олбол: D=a−2−2√1+a. a-ийн ямар утганд D сөрөг биш байхыг олбол: a−2−2√1+a≥0 буюу a−2≥2√1+a. Эндээс {a−2≥0(a−2)2≥4(1+a)⇔{a≥2a2−8a≥0⇔a∈]−∞;0]∪[8;+∞[ буюу a∈[8;+∞). Иймд a∈[8;+∞) үед тэгшитгэл хоёр шийдтэй. x1,2=−1−√1+a±√a−2−2√1+a2 болох ба эдгээр нь a=8 үед давхацна. Одоо t=−1+√1+a тохиолдолдыг авч үзье: x2x+1=−1+√1+a. Эндээс x2+(1−√1+a)x+(1−√1+a)=0 болно. Дискриминантийг нь бодвол D=a−2+2√1+a болох ба a−2−2√1+a≥0 тул 2√1+a≥a−2 үед D сөрөг биш байна. Энэ тэнцэтгэл бишийн шийд нь дараах 2 тэгшитгэлийн шийдийн нэгдэл болно: a) {a−2≥01+a≥0⇔{a≥2a≥−1⇔a≥2 б) {2−a>04(1+a)≥(2−a)2⇔{a<2a2−8a≤0⇔a∈[0;8]⇔a∈[0;2] Иймд a∈[0;+∞) үед тэгшитгэл 2 шийдтэй: x3,4=−1+√1−a±√a−2+2√1+a2 (a=0 үед шийдүүд нь давхацна).
x2+x2(x+1)2=x2(x+1)2+x2(x+1)2=x4+2x3+2x2(x+1)2=(x2x+1)2+2x2x+1
болно. t=x2x+1 орлуулга хийвэл t2+2t=a квадрат тэгшитгэл үүснэ. Дискриминантийг нь олбол: D4=1+a. Иймд a≥−1 үед D≥0, a<−1 завсарт тэгшитгэл шийдгүй. а=−1 үед t=−1 тул эндээс x2x+1=1 болж x2=−x−1 буюу x2+x+1=0 тэгшитгэл гарна. Энэ тэгшитгэл шийдгүй тул а=−1 үед шийдгүй болж байна. a≥−1 үед t=1±√1+a t=1−√1+a үед x2x+1=−1−√1+a эндээс x2+(1+√1+a)x+(1+√1+a)=0. Дискриминантыг нь олбол: D=a−2−2√1+a. a-ийн ямар утганд D сөрөг биш байхыг олбол: a−2−2√1+a≥0 буюу a−2≥2√1+a. Эндээс {a−2≥0(a−2)2≥4(1+a)⇔{a≥2a2−8a≥0⇔a∈]−∞;0]∪[8;+∞[ буюу a∈[8;+∞). Иймд a∈[8;+∞) үед тэгшитгэл хоёр шийдтэй. x1,2=−1−√1+a±√a−2−2√1+a2 болох ба эдгээр нь a=8 үед давхацна. Одоо t=−1+√1+a тохиолдолдыг авч үзье: x2x+1=−1+√1+a. Эндээс x2+(1−√1+a)x+(1−√1+a)=0 болно. Дискриминантийг нь бодвол D=a−2+2√1+a болох ба a−2−2√1+a≥0 тул 2√1+a≥a−2 үед D сөрөг биш байна. Энэ тэнцэтгэл бишийн шийд нь дараах 2 тэгшитгэлийн шийдийн нэгдэл болно: a) {a−2≥01+a≥0⇔{a≥2a≥−1⇔a≥2 б) {2−a>04(1+a)≥(2−a)2⇔{a<2a2−8a≤0⇔a∈[0;8]⇔a∈[0;2] Иймд a∈[0;+∞) үед тэгшитгэл 2 шийдтэй: x3,4=−1+√1−a±√a−2+2√1+a2 (a=0 үед шийдүүд нь давхацна).