Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$8x(2x^2-1)(8x^4-8x^2+1)=1$ тэгшитгэлийн шийдүүдийн хэд нь $[0; 1]$ хэрчимд харъяалагдах вэ?

Бодлогын төрөл: Уламжлалт

Заавар:

Бодолт:

$x=\cos t$ орлуулга хийвэл:

$8\cos t(2\cos ^{2}t-1)(8\cos ^{4}t-2\cos ^{2}t+1)=1$ болно. Энэ тэгшитгэл

$t \in \left({0;{\dfrac{{\pi}}{{2}}}}\right]$ завсарт хэдэн шийдтэй байна анхны тэгшитгэл

$x\in(0;1)$ завсарт тийм тооны шийдтэй байна.

$2\cos ^{2}t-1=\cos 2t$ тул

$8\cos ^{4}t-8\cos ^{2}t+1=-2\sin ^{2}2t+1=\cos 4t$ буюу

$8\cos t\cos2t\cos4t=1$ болно.2 талыг нь

$\sin t \ne 0$ -ээр үржүүлбэл

$8\sin t\cos 2t\cos 4t=\sin t$ гэсэн тэгшитгэл үүсч үүнээс

$\sin{\dfrac{{7t}}{{2}}}\cos{\dfrac{{9t}}{{2}}}=0$ болно. Хэрэв

$\sin{\dfrac{{7t}}{{2}}}=0$ бол

$t={\dfrac{{2\pi n}}{{7}}}$ ;

$n \in Z$ ба

$t \in \left({0;{\dfrac{{\pi}}{{2}}}}\right]$ завсарт 1 хариу буюу

${\dfrac{{2\pi}}{{7}}}$ байна.

$\cos{\dfrac{{9t}}{{2}}}=0$ бол

$t={\dfrac{{\pi}}{{9}}}+{\dfrac{{2\pi m}}{{9}}}$ ,

$m \in Z$ байх ба эндээс

${\dfrac{{\pi}}{{9}}}$ ,

${\dfrac{{\pi}}{{3}}}$ гэсэн хоёр шийд гарна.