Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $(a;b)$ цэгт төвтэй $r$ радуистай тойргийн тэгшитгэл: $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ $(x_0;y_0)$ цэгээс $ax+by+c=0$ шулуун хүртэлх зай: $$d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Бодолт: $C\colon (x-4)^2+(y-3)^2=7^2$ нь $(4;3)$ төвтэй $7$ радиустай тойргийн тэгшитгэл байна.

$\ell_c\colon 3x+4y=c$ гэе. $A$ нь тойргийн цэг тул $(x-4)^2+(y-3)^2=49$ байна. Өөрөөр хэлбэл $A$ цэгийн координат нь $\left\{\begin{array}{c}3x+4y=c\\(x-4)^2+(y-3)^2=49\end{array}\right.$ системийн шийд байна. Иймд бидний зорилго энэ систем шийдтэй байхаар $c$-ийн хамгийн бага утгыг олох болно. $c$-г багасгахад $\ell_c$ шулуун $y$ тэнхлэгийн эсрэг чиглэлд параллелиар зөөгдөх бөгөөд $\ell_c$ шулуун $C$ тойргийг шүргэх үед $c$ нь боломжтой хамгийн бага утгаа авна. $3x+4y-c=0$ шулуун ба $C$ шүргэлцэх тул $$r=d=\dfrac{|3\cdot 4+4\cdot3-c|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{|24-c|}{5}=7\Rightarrow 35=|24-c|.$$ Эндээс $c_1=-11$, $c_2=59$ болох тул ХБУ нь $-11$, ХИУ нь $59$ байна.