Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $1,1,\sqrt2$ талтай гурвалжин нь адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжин болохыг ашигла.

Бодолт:

Хажуу талсууд нь $1$ катеттай адил хажуут тэгш өнцөгт гурвалжнууд байна ($1^2+1^2=(\sqrt2)^2$). Иймд уг гурвалжин пирамидыг $(0;0;0)$, $(1;0;0)$, $(0;1;0)$, $(0;0;1)$ цэгүүдэд оройтой пирамид гэж үзэж болно. Аль нэг хажуу талсыг суурь гэвэл үзвэл уг суурийн талбай $1/2$ болох ба өндөр нь $1$ байна. Иймд эзлэхүүн нь $$V=\dfrac13Sh=\dfrac16$$ байна.

Өмнөхийн адил сэтгэвэл уг пирамидыг багтаасан тойргийн төв $(a;b;c)$ цэгийн хувьд $r^2=a^2+b^2+c^2=(a-1)^2+b^2+c^2=a^2+(b-1)^2+c^2=a^2+b^2+(c-1)^2$ буюу $a=b=c=1/2$ байна. Иймд $r=\sqrt3/2$ байна.