Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Тэнцүү өндөртэй гурвалжнуудын талбайн харьцаа нь тухайн өндөрт харгалзах сууриудын харьцаатай тэнцүү.

Бодолт: $A$ цэгийг $\overrightarrow{A_1B}$ векторын дагуу параллелиар зөөхөд гарах цэгийг $A_2$ гэе. Тэгвэл $B_1A_2B$ гурвалжин нь $ABC$ гурвалжны медиануудаар үүсэх гурвалжин байна. Учир нь $\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{CB_1}+\overrightarrow{B_1C_1}=\dfrac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}$, $\overrightarrow{B_1A_2}=\overrightarrow{B_1A}+\overrightarrow{AA_2}=\dfrac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}$ тул $\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{B_1A_2}$ ба $\overrightarrow{A_1A}=\overrightarrow{BA_2}$ байна. $B_1AA_2C_1$ параллелограмм учир $L$ цэг $B_1A_2B$ гурвалжны медианы суурь байна.

Нөгөө талаас $3^2+4^2=5^2$ тул $\measuredangle B_1BA_2=90^\circ$ байна. Иймд $B_1A_2B$ гурвалжны талбай $\dfrac{3\cdot 4}{2}=6$, $B_1LB$ гурвалжны талбай үүний хагас ($B_1L=LA_2$) буюу $3$ байна. $AL=\frac13 LB$ тул $B_1AL$ гурвалжны талбай $3\cdot\frac13=1$ байна. Иймд $B_1AB$ гурвалжны талбай $4$, $ABC$ гурвалжны талбай $2\cdot 4=8$ байна.