Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Менелайн теорем ашигла.

Менелайн теорем: $ABC$ гурвалжны $AB$, $AC$, $BC$ талуудыг $\ell$ шулуун харгалзан $P, Q, R$ цэгүүдэд огтлох бол $$\dfrac{AP}{PB}\cdot\dfrac{BR}{RC}\cdot\dfrac{CQ}{QA}=1$$ байна.

Бодолт: $ADC$ гурвалжин ба $SP$ шулууны хувьд Менелайн теорем бичвэл $$\dfrac{AP}{PD}\cdot\dfrac{DN}{NC}\cdot\dfrac{CS}{SA}=1$$ байна. Иймд $\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{1}\cdot\dfrac{CS}{SA}=1$ буюу $\dfrac{CS}{SA}=\dfrac23$. Эндээс $3SC=2(SC+CA)$ буюу $SC=2CA$ болж байна. Иймд $\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{CA}$.

$ABC$ гурвалжин ба $SM$ шулууны хувьд Менелайн теорем бичвэл $$\dfrac{AM}{MB}\cdot\dfrac{BQ}{QC}\cdot\dfrac{CS}{SA}=1$$ болно. Иймд $\dfrac{1}{1}\cdot\dfrac{BQ}{QC}\cdot\dfrac{2}{3}=1$ буюу $CQ:QB=2:3$ байна.