Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №4706
Координатын хавтгайд $A(1,2)$, $B(-1,1)$, $C(1,0)$, $D(-1,0)$ цэгүүд өгөв. $P(p,0)$ нь $CD$ хэрчим дээр орших ба $\angle APB$ өнцөг хамгийн их байхаар $P$ цэгийг олъё. $\alpha=\angle APC, \beta=\angle BPD, \theta=\angle APB$ гэвэл $\alpha+\beta+\theta=180^{\circ}$ ба $$\tg\alpha=\dfrac{\fbox{a}}{\fbox{b}-p},\tg\beta=\dfrac{\fbox{c}}{p+\fbox{d}}, \tg\theta=\dfrac{p+\fbox{e}}{p^2+\fbox{f}}$$ болно. Уламжлал авбал $(\tg\theta)'=-\dfrac{p^2+\fbox{g}p-1}{(p^2+\fbox{h})^2}$ болно. Эндээс $\theta$ өнцөг хамгийн их байх $P$ цэгийн координат $( \sqrt{\fbox{ij}}-\fbox{k},0)$ байна.
ab = 21
cd = 11
ef = 31
gh = 61
ijk = 103
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 7.14%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар:
Бодолт: 
$\alpha=\angle APC, \beta=\angle BPD, \theta=\angle APB$ гэвэл $\alpha+\beta+\theta=180^{\circ}$ ба $\tg\alpha=\dfrac{AC}{PC}=\dfrac{2}{1-p}$, $\tg\beta=\dfrac{BD}{DP}=\dfrac{1}{p+1}$. Эндээс $$\tg\theta=-\tg(\alpha+\beta)=-\dfrac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}=-\dfrac{\frac{2}{1-p}+\frac{1}{p+1}}{1-\frac{2}{1-p}\cdot\frac{1}{p+1}}=\dfrac{p+3}{p^2+1}$$ болно. Уламжлал авбал $(\tg\theta)'=-\dfrac{p^2+6p-1}{(p^2+1)^2}$ болно. Эндээс $$-\dfrac{p^2+6p-1}{(p^2+1)^2}=0$$ үед $\theta$ өнцөг хамгийн их байна. Иймд $p=-3\pm\sqrt{10}$ болох ба $-1\le p\le 1$ тул $P$ цэгийн координат $(\sqrt{10}-3,0)$ байна.
$\alpha=\angle APC, \beta=\angle BPD, \theta=\angle APB$ гэвэл $\alpha+\beta+\theta=180^{\circ}$ ба $\tg\alpha=\dfrac{AC}{PC}=\dfrac{2}{1-p}$, $\tg\beta=\dfrac{BD}{DP}=\dfrac{1}{p+1}$. Эндээс $$\tg\theta=-\tg(\alpha+\beta)=-\dfrac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}=-\dfrac{\frac{2}{1-p}+\frac{1}{p+1}}{1-\frac{2}{1-p}\cdot\frac{1}{p+1}}=\dfrac{p+3}{p^2+1}$$ болно. Уламжлал авбал $(\tg\theta)'=-\dfrac{p^2+6p-1}{(p^2+1)^2}$ болно. Эндээс $$-\dfrac{p^2+6p-1}{(p^2+1)^2}=0$$ үед $\theta$ өнцөг хамгийн их байна. Иймд $p=-3\pm\sqrt{10}$ болох ба $-1\le p\le 1$ тул $P$ цэгийн координат $(\sqrt{10}-3,0)$ байна.