Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Синусын теорем, косинусын теорем болон дараах томьёонуудыг ашиглан бодоорой.

Гурвалжны хагас периметр, багтаасан ба багтсан тойргийн радиус: $$p=\dfrac{a+b+c}{2},\ R=\dfrac{abc}{4S},\ r=\dfrac{S}{p}$$

Гурвалжны талбай: $$S=\frac12 ab\sin\gamma=\frac12 ac\sin\beta=\frac12 bc\sin\alpha$$

Бодолт: $ABD$ ба $BDC$ гурвалжнуудад косинусын теорем бичвэл $$BD^2=5^2+3^2-2\cdot5\cdot3\cdot\cos\angle A=7^2+7^2-2\cdot7\cdot7\cdot\cos\angle C.$$ $\angle A+\angle C=180^\circ$, $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$ тул $$30\cos\angle C+98\cos\angle C=98-34\Rightarrow\cos\angle C=\frac12\Rightarrow\angle C=60^\circ, BD=7$$ болно. Тойрогт багтсан дөрвөн өнцөгтийн чанараар (Птолемейн теорем) $$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$$ буюу $$AC\cdot 7=3\cdot 7+5\cdot 7.$$ Иймд $AC=8$ болно. $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талбай $$S=S_{ABD}+S_{BCD}=\dfrac12\cdot7\cdot7\sin60^\circ+\dfrac12\cdot3\cdot5\cdot\sin120^\circ=16\sqrt{3}$$ байна. $O$ тойргийн радуис $\dfrac{BD}{2\sin60^\circ}=\dfrac{7\sqrt3}{3}$ байна. $ABD$ гурвалжинд багтсан тойргийн радиус $$\dfrac{2S_{ABD}}{AB+BD+DA}=\dfrac{AB\cdot AD\cdot\sin120^\circ}{3+7+5}=\dfrac{\dfrac{15\sqrt3}{2}}{15}=\dfrac{\sqrt3}{2}$$ байна. $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн диагоналиудын огтолцолын цэг $E$ бол $S=\dfrac12 AC\cdot BD\cdot\sin\angle AEB$ буюу $16\sqrt3=\dfrac12\cdot 8\cdot 7\cdot\sin\angle AEB$. Эндээс $\sin\angle AEB=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}$ байна.