Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,\dots$ дараалал өгөгдөв.

Энэ дарааллын 70-р гишүүн $N$ бол $N=\fbox{ab}$ байна.
$N$ тоо 70-р гишүүн хүртэл (70-р гишүүнийг оролцуулаад) $\fbox{c}$ удаа давтагдсан байна.
Эхний 70 гишүүний нийлбэр $\fbox{def}$

ab = 12

c = 4

def = 554

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 30.26%

Заавар:

$n$-р гишүүн $k$-аас их байхын тулд $1+2+\cdots+k< n$ байх ёстой. $k+1$-ээс хэтрэхгүй байхын тулд $n\le 1+2+\cdots+k+1$ байх ёстой.
$11$ байх сүүлчийн дугаар нь $1+2+\dots+11$ байна.
$1^2+2^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ томьёог ашиглаад хялбархан олж болно.

Бодолт:

$a_{70}=N\Leftrightarrow N-1< a_{70}\le N$ тул $$1+2+\dots+N-1< 70\le 1+2+\dots+N$$ байх $N$-г олох ёстой. Эндээс $$\dfrac{(N-1)N}{2}<70\le\dfrac{N(N+1)}{2}$$ ба шууд шалгаж үзэх замаар $N=12$ болохыг олоход төвөгтэй биш.
$11$ байх сүүлийн гишүүний дугаар $1+2+\cdots+11=66$. Иймд $70-66=4$ гишүүн $12$-той тэнцүү байна.
Эхний 70 гишүүний нийлбэр нь $$1^2+2^2+3^2+\cdots+11^2+12\cdot 4=\dfrac{11(11+1)(2\cdot11+1)}{6}+48=554$$ байна.

Нэмэлт: Энэ бодлогыг уг дарааллын эхний 70 гишүүнийг жагсааж бичих замаар хялбархан бодож болно!