Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$k>0$ байг. $C\colon y=x^2$ параболын $(k,k^2)$ цэгт татсан шүргэгч шулууныг $\ell$ гэе.

$\ell$ шулууны тэгшитгэл $y=\fbox{a}kx-k^2$ болно.
$C$ парабол $\ell$ шулуун ба $y$ тэнхлэгээр хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай $S=\dfrac{k^{\fbox{b}}}{\fbox{c}}$.
$S=72$ бол $k=\fbox{d}$ байна.

a = 2

bc = 33

d = 6

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 43.54%

Заавар:

Зурагт үзүүлсэн дурсийн талбай нь: $$S=\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\beta)^2\,\,\mathrm{d}x=\dfrac{a}{3}(\beta-\alpha)^3,\qquad a>0$$

Бодолт:

$y^\prime=2x$ байна. $f(x)$ функцийн $(x_0,f(x_0))$-цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл $y=f^\prime(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ тул $y=x^2$-ийн $(k,k^2)$ цэгт татсан шүргэгч шулууны тэгшитгэл нь $$y=2k(x-k)+k^2=2kx-k^2$$ байна.
Уг дүрсийн талбай нь $$\displaystyle\int_{0}^{k}x^2-2kx+k^2 \,\mathrm{d}x=\int_0^k(x-k)^2\,\mathrm{d}x=\dfrac{(x-k)^3}{3}\Big|_0^k=\dfrac{k^3}{3}.$$
$\dfrac{k^3}{3}=72$. Иймд $k=6$ байна.