Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{4x^4+2x^2+\sin^22x}{\cos2x+4x^2-1}$ хязгаарыг бод.

$\dfrac{3}{2}$ B.

$\dfrac{2}{3}$ C.

$3$ D.

$2$ E.

$\dfrac{1}{6}$

Бодлогын төрөл: Сонгох

Амжилтын хувь: 46.15%

Заавар:

$f(x),g(x)$ нь

$\lim\limits_{x\to a}f(x)=0$ ,

$\lim\limits_{x\to a}g(x)=0$ байх дифференциалчлагдах функцүүд бол

$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$ байдаг. Үүнийг Лопиталын дүрэм гэдэг бөгөөд

$\dfrac{0}{0}$ хэлбэрийн тодорхой биш хязгаарыг бодоход өргөн ашиглагддаг.

Бодолт: Лопиталын дүрмээр бодъё.

$\lim\limits_{x\to 0} 4x^4+2x^2+\sin^22x=4\cdot 0^2+2\cdot 0^2+\sin^22\cdot 0=0$ ,

$\lim\limits_{x\to 0}\cos2x+4x^2-1=\cos(2\cdot 0)+4\cdot 0-1=0$ тул Лопиталын дүрэм хэрэглэх боломжтой.

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{4x^4+2x^2+\sin^22x}{\cos2x+4x^2-1}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{16x^3+4x+4\sin2x\cos2x}{-2\sin2x+8x}=$

$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{48x^2+4+8\cos4x}{-4\cos2x+8}=\dfrac{4+8}{-4+8}=3.$ Энд бид хоёр удаа Лопиталын дүрэм ашиглан бодлоо. (

$4\sin2x\cos2x=2\sin4x\Rightarrow (2\sin4x)^\prime=8\cos 4x$ ).