Монгол Бодлогын Сан

Заавар: Хэрвээ $a$, $b\in\mathbb N$ бол $\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\alpha}\pm\sqrt{\beta}$ байх $\alpha$, $\beta\in\mathbb N$ тоонууд олдох зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь $\sqrt{a^2-b}\in\mathbb N$ байдаг.

Бодолт: $\sqrt{10^2-84}=\sqrt{16}=4$ тул дараах чанартай $\alpha$, $\beta\in\mathbb N$ тоонууд олдоно. $$\sqrt{10+\sqrt{84}}=\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}\alpha+\beta=10\\4\alpha\beta=84\end{array}\right.\Rightarrow \alpha=7, \beta=3~~(\alpha=3, \beta=7).$$ $$(\sqrt{28}-\sqrt{12})\cdot\sqrt{10+\sqrt{84}}=2(\sqrt7-\sqrt3)(\sqrt7+\sqrt3)=2(7-3)=8.$$