Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$\sin^3x+\cos^3x=\sin x-\cos x$ тэгшитгэлийн $0\le x< \pi$ байх шийдүүд аль нь вэ?

$0$ B.

$\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{2}$ C.

$\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{2}; \pi-\arctg 2$ D.

$\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{2}; \arctg(-2)$ E.

$\dfrac{\pi}{2}$

Бодлогын төрөл: Сонгох

Амжилтын хувь: 16.67%

Заавар:

Бодолт:

$\sin^3x+\cos^3x=\sin x-\cos x=(\sin x-\cos x)(\sin^2x+\cos^2x)$ тул

$\sin^3x+\cos^3x=\sin^3x+\sin x\cos^2x-\cos x\sin^2x-\cos^3x$ буюу

$\cos x(2\cos^2x-\sin x\cos x-\sin^2x)=0\Rightarrow$

$\cos x=0\lor 2\cos^2x-\sin x\cos x-\sin^2x=0$ байна.

$\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}$ байна.

$2\cos^2x-\sin x\cos x-\sin^2x=0$ -ээс

$2-\tg x-\tg^2x=0\Rightarrow \tg x=1\lor \tg x=-2\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}\lor x=\pi-\arctg 2$ байна. (

$\tg x=-2\Rightarrow x=\arctg(-2)+\pi k=-\arctg2+\pi k$ ба

$0\le x< \pi$ байх шийд нь

$x=\pi-\arctg 2$ ).