Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

Тус бүрдээ 1-10 тоогоор дугаарлагдсан 10 улаан, 10 ногоон, 10 хөх, 10 шар өнгийн нийт 40 карт байв. Эдгээрээс нэгэн зэрэг 2-ийг нь авахад

Ижил тоотой байх магадлал $\dfrac{1}{\fbox{ab}}$ байна.
Өнгө ба тоогоороо ялгаатай байх магадлал $\dfrac{\fbox{c}}{\fbox{de}}$
Яг нэг нь улаан байх магадлал $\dfrac{5}{\fbox{fg}}$
Гарч ирсэн улаан картнууд дээр бичигдсэн тоонуудын нийлбэрийн математик дундаж нь $\dfrac{\fbox{hi}}{\fbox{j}}$. (хэрэв улаан карт гарч ирэхгүй бол нийлбэр нь 0, яг нэг улаан карт гарч ирсэн бол нийлбэр нь улаан картны дугаар байна.)

ab = 13

cde = 913

fg = 13

hij = 114

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 1.71%

Заавар: $X$ санамсаргүй хувьсагчийн математик дундаж нь $$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+\dots+x_np_n$$ нийлбэр байна.

Бодолт: 40 картнаас 2-ийг авах боломжийн тоо $C_{40}^2=780$ байна.

Ижил тоотой 2 карт гарч ирэх боломжийн тоо $10\cdot C_4^2=60$ тул магадлал нь $\dfrac{60}{780}=\dfrac{1}{13}$.
Карт бүрийн хувьд түүнээс өнгө болон тоогоороо ялгаатай $40-(10+4-1)=27$ карт байна. Иймд өнгө ба тоогоороо ялгаатай 2 карт сонгох боломжийн тоо $\dfrac{40\cdot 27}{2}=540$, магадлал нь $\dfrac{540}{780}=\dfrac{9}{13}$.
Яг нэг нь улаан байх боломжийн тоо $10\cdot 30=300$, магадлал нь $\dfrac{300}{780}=\dfrac{5}{13}$
Гарч ирсэн 2 карт хоёулаа улаан биш байх боломжийн тоо $C_{30}^2=435$. Гарч ирсэн 2 картны нэг нь улаан өнгийн $i\in\{1,2,\dots,10\}$, нөгөө нь өөр байх боломжийн тоо $30$, гарч ирсэн 2 карт улаан өнгийн $i< j$ тоонууд байх боломжийн тоо $1$ байна. Иймд гарч ирсэн улаан картанд бичигдсэн тоонуудын нийлбэрийн математик дундаж нь $$E=0\cdot \frac{435}{780}+\sum_{i=1}^{10} i\cdot\frac{30}{780}+\sum_{1\le i< j\le 10}(i+j)\cdot\frac1{780}=$$ $$=55\cdot\dfrac{30}{780}+9\cdot 55\cdot \dfrac{1}{780}=\dfrac{55\cdot 39}{780}=\dfrac{11}{4}.$$