Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$C\colon x^2+y^2+z^2=6$ бөмбөрцөгт багтсан хамгийн их эзлэхүүнтэй цилиндрийн суурийн радиусыг ол.

$1$ B.

$2$ C.

$3$ D.

$4$ E.

$5$

Бодлогын төрөл: Сонгох

Амжилтын хувь: 40.85%

Заавар: Бөмбөрцгийн төвийг суурийн ирмэгтэй холбосон хэрчмийн гол тэнхлэгтэй үүсгэх хурц өнцгийг

$\alpha$ гэвэл цилиндрийн өндөр нь

$2R\cos\alpha$ , суурийн радиус нь

$R\sin\alpha$ болно.

$V=\pi R^3\sin^2\alpha\cos\alpha=\pi R^3(1-c^2)c$ ,

$c=\cos\alpha$ байна.

Бодолт:

$V^\prime(c)=\pi R^3(1-3c^2)=0\Rightarrow c^2=\dfrac{1}{3}, (c>0)$ ба

$\sin^2\alpha=1-\dfrac13=\dfrac23$ үед цилиндрийн эзлэхүүн хамгийн их байна.

$C\colon x^2+y^2+z^2=6$ бөмбөрцгийн хувьд

$R=\sqrt{6}$ тул цилиндрийн суурийн радиус нь

$\sqrt6\cdot\sqrt{\dfrac{2}{3}}=2$ .