Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Бодлого №4932
ABC гурвалжны талууд AB=7, BC=8, CA=9 нэгж ба BC тал дээр дурын M цэг авч, AB-тэй параллель MN (N∈AC) хэрчим татав. AMN гурвалжны талбайн хамгийн их утгыг ол.
Бодолт: AN=x гэж тэмдэглээд ABC ба NMC гурвалжнууд төсөөтэй гэдгийг ашиглан NMC буюу AMN гурвалжны M оройгоос татсан өндрийг x-ээр илэрхийлж болох ба улмаар талбай нь x-ээр S(x)=a√b(cx−x2)de гэж илэрхийлэгдэнэ. Энэ функцээс уламжлал авч 0-тэй тэнцүүлээд гарсан тэгшитгэлийг бодвол e,f бутархай гарна. Буцааж орлуулаад Smax болно.
abcde = 45927
fg = 45
h = 3
Бодлогын төрөл: Нөхөх
Амжилтын хувь: 20.63%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: h_b=\dfrac{2S}{CA} байна. S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} Героны томьёогоор S-ийг олно. NC=9-x байх тул NMC ба ABC гурвалжны төсөөгөөс \dfrac{h}{h_b}=\dfrac{9-x}{9} байна.
Бодолт: p=\dfrac{7+8+9}{2}=12\Rightarrow S=\sqrt{12\cdot5\cdot 4\cdot 3}=12\sqrt5 байна. Иймд h_b=\dfrac{2S}{9}=\dfrac{8\sqrt5}{3} байна. S(x)=\dfrac12\cdot x\cdot h=\dfrac{4\sqrt5(9x-x^2)}{27} байна. S^\prime(x)=0\Rightarrow 9-2x=0\Rightarrow x=4.5. Буцааж орлуулаад S_{\max}=3\sqrt{5} байна.
Сорилго
Энэ бодлого ямар нэг сорилгод ороогүй.