Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
1-р гайхамшигт хязгаар
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1– \cos^22x}{2x^2+x^3}$ хязгаарыг бод.
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $+\infty$
E. $-1$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 33.33%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos^22x}{2x^2+x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin^22x}{2x^2+x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\frac{\sin^22x}{(2x)^2}}{\frac{2x^2}{(2x)^2}+\frac{x^3}{(2x^2)}}$ байна.
Мөн $x\to0$ үед $2x\to 0$ тул $$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin^22x}{(2x)^2}\overset{t=2x}{=\kern-0.2em=}\lim\limits_{t\to 0}\left(\dfrac{\sin t}{t}\cdot\dfrac{\sin t}{t}\right)=1\cdot 1=1$$ байна.
Мөн $x\to0$ үед $2x\to 0$ тул $$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin^22x}{(2x)^2}\overset{t=2x}{=\kern-0.2em=}\lim\limits_{t\to 0}\left(\dfrac{\sin t}{t}\cdot\dfrac{\sin t}{t}\right)=1\cdot 1=1$$ байна.
Бодолт: \begin{align*}
\text{Хяз.}&=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos^22x}{2x^2+x^3}\\
&=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin^22x}{2x^2+x^3} & &\color{red}{\leftarrow 1-\cos^22x=\sin^22x}\\
&=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\frac{\sin^22x}{(2x)^2}}{\frac{2x^2}{(2x)^2}+\frac{x^3}{(2x)^2}} & &\color{red}{\leftarrow\dfrac{:(2x)^2}{:(2x)^2}}\\
&=\dfrac{\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin^22x}{(2x)^2}}{\lim\limits_{x\to0}\big(\frac12+\frac{x}{4}\big)} & &\color{red}{\leftarrow\dfrac{\sin^22x}{(2x)^2}=\dfrac{\sin2x}{2x}\cdot\dfrac{\sin2x}{2x}}\\
&=\dfrac{1^2}{\frac12+\frac04}=2
\end{align*}