Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$\dfrac{8\sqrt7}{7}$ радиустай тойрогт багтсан $ABCD$ дөрвөн өнцөгтөд $BC=4$, $\cos\angle BAD=\dfrac18$ байв.

$BD=\fbox{a}$, $CD=\fbox{b}$ байна.
$AB+AD=9$ бол $ABCD$ дөрвөн өнцөгтийн талбай $S=\dfrac{\fbox{cd}\sqrt{\fbox{e}}}{\fbox{f}}$ байна.

ab = 64

cdef = 2774

Бодлогын төрөл: Нөхөх

Амжилтын хувь: 13.64%

Заавар:

Тойрогт багтсан дөрвөн өнцөгтийн чанараар $180^\circ$ тул $\measuredangle BCD=180^\circ-\measuredangle BAD$. Үүнийг ашиглан $\measuredangle BCD$-ийн $\cos$ ба $\sin$-ийг олоод синусын теорем, косинусын теорем хэрэглэн талуудын уртыг ол.
$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=81$ ба $$BD^2=x^2+y^2-2xy\cos\measuredangle BAD$$ (косинусын теорем)-оос $xy$-г ол. Цааш нь $$S_{\triangle ABD}=\frac12 xy\sin\measuredangle BAD$$ гээд бод.

Бодолт:

Тойрогт багтсан тул $\measuredangle BCD=180^\circ-\measuredangle BAD$. Иймд $\cos\measuredangle BCD=-\dfrac18$ ба $\sin\measuredangle BCD=\sqrt{1-(-1/8)^2}=\sqrt{63/64}=\dfrac{3\sqrt7}{8}$.

Синусийн теоремоор $\dfrac{BD}{\sin\measuredangle BCD}=2R$ буюу $$BD=2\cdot\dfrac{8\sqrt7}{7}\cdot\dfrac{2\cdot 3\sqrt7}{8}=6.$$ Косинусын теоремоор $$BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cos\measuredangle BCD$$ байна. Иймд $$6^2=4^2+CD^2-2\cdot 4\cdot CD\cdot\Big(-\frac{1}{8}\Big)$$ буюу $CD^2+CD-20=0$ тэгшитгэлээс $CD=4$ болно ($CD=-5$ шийд нь хэрчмийн урт болж чадахгүй).
$x^2+y^2+2xy=81$ ба $x^2+y^2-2xy\cdot\dfrac18=36$. Тэгшитгэлүүдийг хасвал $\dfrac{9}{4}xy=45$ буюу $xy=20$. Талбай нь \begin{align*} S&=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}\\ &=\frac12 xy\sin\measuredangle BAD+\frac{1}{2}\cdot4\cdot4\cdot\sin\measuredangle BCD\\ &=(10+8)\dfrac{3\sqrt{7}}{8}=\dfrac{27\sqrt7}{4} \end{align*}