Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $n!$-ийг хуваах $p$ анхны тооны хамгийн их зэрэг нь $$\Big[\dfrac{n}{p}\Big]+\Big[\dfrac{n}{p^2}\Big]+\Big[\dfrac{n}{p^3}\Big]+\cdots$$ Энд $[x]$-ээр $x$ тооны бүхэл хэсгийг тэмдэглэлээ.

Бодолт: 6 тэгээр төгсөх тул $10^6=2^6\cdot 5^6$ тоонд хуваагдах ёстой. $n!$-ийг хуваах 5-ийн зэрэг нь $n$ нь 5-д хуваагдах үед ихсэх нь ойлгомжтой.

$n=20$ үед $20!$ тоог хуваах 5-ийн хамгийн их зэрэг нь $$\Big[\dfrac{20}{5}\Big]+\Big[\dfrac{20}{5^2}\Big]+\Big[\dfrac{20}{5^3}\Big]+\cdots=4+0+0+\cdots=4$$ тул $5^6$ тоонд хуваагдахгүй. Харин $n=25$ үед $$\Big[\dfrac{25}{5}\Big]+\Big[\dfrac{25}{5^2}\Big]+\Big[\dfrac{25}{5^3}\Big]+\cdots=4+2+0+\cdots=6$$ тул $5^6$ тоонд хуваагдана. Иймд хамгийн бага нь $n=25$ байна ($25!$ тоо $2^6$-д хуваагдах нь ойлгомжтой).