Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $A=\sqrt{57-40\sqrt 2}-\sqrt{40\sqrt 2+57}$ бол $A<0$ ба $A^2$-ийн утгыг ашиглан бод.

Бодолт: $$\begin{align*} A^2&=(\sqrt{57-40\sqrt 2}-\sqrt{40\sqrt 2+57})^2\\ &=57-40\sqrt2-2\cdot\sqrt{57-40\sqrt 2}\cdot\sqrt{40\sqrt 2+57}+40\sqrt2+57\\ &=114-2\sqrt{(57-40\sqrt 2)(57+40\sqrt 2)}\\ &=114-2\sqrt{57^2-(40\sqrt2)^2}\\ &=114-2\sqrt{3249-3200}\\ &=114-2\sqrt{49}=100 \end{align*}$$ байна. $A<0$ ба $A^2=100\Rightarrow A=-10$ байна.

Нэмэлт: $57-40\sqrt2 < 40\sqrt{2}+57$ ашиглан $A<0$ болохыг хялбархан харж болно. Түүнчлэн $\sqrt{2}\approx 1.41$ ашиглан $57-40\sqrt2<1$ ба $57+40\sqrt2>100$ гээд шууд $-10$ зөв хариултыг олж болно. Мөн $$57\pm 40\sqrt{2}=(5\pm 4\sqrt{2})^2$$ ашиглан шууд бодсон ч болно.