Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Иррационал тооноос язгуур гаргах
$-\sqrt{29-12\sqrt 5}+\sqrt{12\sqrt 5+29}$ илэрхийллийг хялбарчил.
A. $-64$
B. $0$
C. $4\sqrt 5$
D. $6$
E. $10$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 69.57%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: $d$ нь ямар нэг натурал тооны квадратад үл хураагдах натурал тоо ба $a,b,x,y$ нь бүхэл тоонууд бол
$$a\pm b\sqrt{d}=(x\pm y\sqrt{d})^2\Leftrightarrow\left\{
\begin{array}{c}
x^2+dy^2=a\\
2xy=b
\end{array}
\right.$$
Бодолт: $$29\pm12\sqrt{5}=(x\pm y\sqrt{5})^2\Leftrightarrow
\left\{
\begin{array}{c}
x^2+5y^2=29\\
2xy=12\end{array}
\right.$$
тэгшитгэлийн бүхэл шийдүүд нь $(x;y)=(3;2)$, $(x;y)=(-3;-2)$ болохыг олох төвөгтэй биш. Нөгөө талаас $\sqrt{a^2}=|a|$ тул
\begin{align*}
\text{Илэрх.}&=-\sqrt{29-12\sqrt 5}+\sqrt{12\sqrt 5+29}\\
&=-\sqrt{(3-2\sqrt5)^2}+\sqrt{(3+2\sqrt5)^2}\\
&=-|3-2\sqrt5|+|3+2\sqrt5|\\
&=-(2\sqrt5-3)+3+2\sqrt5\\
&=-2\sqrt5+3+3+2\sqrt5=6
\end{align*}