Монгол Бодлогын Сан
Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.
Утгыг ол
$\dfrac{\sqrt[4]{14+6\sqrt 5}\cdot\sqrt{3-\sqrt 5}+\sqrt 2\cdot\sqrt{176^2-112^2}}{\sqrt[3]{5\sqrt 2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt 2-7}}$ нь аль вэ?
A. $79$
B. $7$
C. $97$
D. $87$
E. $89$
Бодлогын төрөл: Сонгох
Амжилтын хувь: 69.39%
Бодлогыг оруулсан: Балхүүгийн Батбаясгалан
Бодолт
Заавар: Нэмэгдэхүүн тус бүрийг хялбарчил.
$$(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)$$
Бодолт: \begin{gather}
\sqrt[4]{14+6\sqrt 5}\cdot\sqrt{3-\sqrt 5}=\sqrt[4]{(3+\sqrt5)^2}\cdot\sqrt{3-\sqrt5}=\sqrt{3+\sqrt5}\cdot\sqrt{3-\sqrt5}=2\\
\sqrt 2\cdot\sqrt{176^2-112^2}=\sqrt2\cdot\sqrt{(176-112)(176+112)}=\sqrt2\cdot\sqrt{64\cdot 288}=\\
=\sqrt{64}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{2\cdot 12^2}=8\cdot 2\cdot 12=192\\
\end{gather}
$x=\sqrt[3]{5\sqrt 2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt 2-7}$ гэвэл
$$x^3=(5\sqrt2+7)-(5\sqrt2-7)-3\sqrt[3]{5\sqrt 2+7}\cdot\sqrt[3]{5\sqrt 2-7}\cdot x\Leftrightarrow$$
$$x^3=14-3x\Leftrightarrow(x-2)(x^2+2x+7)=0$$
$x^2+2x+7=(x+1)^2+6>0$ тул $x=2$ л байх боломжтой. Иймд
$$\dfrac{\sqrt[4]{14+6\sqrt 5}\cdot\sqrt{3-\sqrt 5}+\sqrt 2\cdot\sqrt{176^2-112^2}}{\sqrt[3]{5\sqrt 2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt 2-7}}=\dfrac{2+192}{2}=97$$