Монгол Бодлогын Сан

Эх хэлээрээ суралцаж, эх хэлээрээ мэдлэгээ түгээе.

$x=\sqrt{9+4\sqrt 5}$ , $y=\sqrt{9-4\sqrt 5}$ бол $\displaystyle\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}$ илэрхийллийн утгыг ол.

$\sqrt 5$ B.

$\dfrac{17}{9}\sqrt 5$ C.

$2\sqrt 5$ D.

$17\sqrt 5$ E.

$\dfrac{34}{9}\sqrt 5$

Бодлогын төрөл: Сонгох

Амжилтын хувь: 61.76%

Заавар:

$x+y$ ба

$xy$ -ийг олоод

$\begin{gather} x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\\ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy \end{gather}$ томьёог ашиглан бод.

Бодолт:

$x=2+\sqrt 5$ ба

$y=\sqrt 5-2$ тул

$\begin{gather} x+y=2+\sqrt 5+2-\sqrt 5=2\sqrt5\\ xy=(2+\sqrt 5)(\sqrt 5-2)=(\sqrt5)^2-2^2=1 \end{gather}$ байна. Иймд

$\begin{gather} x^2+y^2=(x+y)^2-2xy= 20-2=18\\ x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy)=2\sqrt5\cdot(18-1)=34\sqrt5 \end{gather}$ ба

$\displaystyle\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\dfrac{34\sqrt5}{18}=\frac{17}{9}\sqrt 5$ байна.