Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

1. $x\in\mathbb R$ тооны бүхэл хэсэг нь уг тооноос хэтрэхгүй хамгийн их бүхэл тоо байна.  Үүнийг $[x]$ гэж тэмдэглэнэ. $$[x]=n\Leftrightarrow n\le [x]< n+1, n\in\mathbb Z.$$
2. $x\in\mathbb R$ тооны бутархай хэсэг нь $\{x\}=x-[x]$ байна. Ямар ч тооны бутархай хэсэг нь 1-ээс хэтрэхгүй эерэг тоо байна. $$0\le \{x\}< 1.$$ Бүхэл тооны бутархай хэсэг $0$-тэй тэнцүү.
3. Жишээ нь $x=-4.55$ тооны хувьд $-5<-4.55<-4$ тул бүхэл хэсэг нь $-4$ биш харин$[-4.55]=-5$ байна. Харин бутархай хэсэг нь $\{-4.55\}=-4.55-(-5)=0.45$.

Бодолт: $$\dfrac{1}{\alpha}=2-\sqrt{3}\Rightarrow\alpha=\dfrac{1}{2-\sqrt3}$$ байна. Иймд $$\alpha=\dfrac{1}{2-\sqrt3}=\dfrac{2+\sqrt3}{2^2-(\sqrt3)^2}=2+\sqrt3$$ ба $1<\sqrt3<2$ тул $$3\le\alpha<4$$ байна. Иймд $a=[\alpha]=3$ ба $$b=\{\alpha\}=\alpha-[\alpha]=2+\sqrt3-3=\sqrt3-1$$ болно. Эндээс \begin{align*} a+2b+b^2&=3+2(\sqrt3-1)+(\sqrt3-1)^2\\ &=2+1+2(\sqrt3-1)+(\sqrt3-1)^2\\ &=2+(1+\sqrt3-1)^2=2+(\sqrt3)^2=5 \end{align*}