Монгол Бодлогын Сан

Заавар:

1. $x\in\mathbb R$ тооны бүхэл хэсэг нь уг тооноос хэтрэхгүй хамгийн их бүхэл тоо байна.  Үүнийг $[x]$ гэж тэмдэглэнэ. $$[x]=n\Leftrightarrow n\le [x]< n+1, n\in\mathbb Z.$$
2. $x\in\mathbb R$ тооны бутархай хэсэг нь $\{x\}=x-[x]$ байна. Ямар ч тооны бутархай хэсэг нь 1-ээс хэтрэхгүй эерэг тоо байна. $$0\le \{x\}< 1.$$ Бүхэл тооны бутархай хэсэг $0$-тэй тэнцүү.
3. Жишээ нь $x=-4.55$ тооны хувьд $-5<-4.55<-4$ тул бүхэл хэсэг нь $-4$ биш харин$[-4.55]=-5$ байна. Харин бутархай хэсэг нь $\{-4.55\}=-4.55-(-5)=0.45$.

Бодолт: $$\dfrac{1}{\alpha}=\sqrt{5}-2\Rightarrow\alpha=\dfrac{1}{\sqrt5-2}$$ байна. Иймд $$\alpha=\dfrac{1}{\sqrt5-2}=\dfrac{\sqrt5+2}{(\sqrt5)^2-2^2}=\sqrt5+2$$ ба $2<\sqrt5<3$ тул $$4\le\alpha<5$$ байна. Иймд $a=[\alpha]=4$ ба $$b=\{\alpha\}=\alpha-[\alpha]=\sqrt5+2-4=\sqrt5-2$$ болно. Эндээс $$\begin{align*} a+b^2+4b&=4+(\sqrt5-2)^2+4(\sqrt5-2)\\ &=(\sqrt5-2)^2+2\cdot 2\cdot(\sqrt5-2)+2^2\\ &=(\sqrt5-2+2)^2=5 \end{align*}$$