Монгол Бодлогын Сан

Заавар: $$\sqrt{a^2}=|a|$$ $$\sqrt{a}=b\Rightarrow a=b^2$$

Бодолт: $$\sqrt{9+4\sqrt5}=x+\sqrt5\Rightarrow 9+4\sqrt5=(x+\sqrt5)^2=x^2+5+2x\sqrt5$$ ба $x$ нь бүхэл тоо тул $x^2+5=9$, $2x=4\Rightarrow x=2$ байна. Иймд $$3\sqrt{\dfrac{17}{3}+\sqrt{29-4\cdot \sqrt{9+4\sqrt{5}}}}=3\sqrt{\dfrac{17}{3}+\sqrt{29-4(2+\sqrt{5})}}=$$ $$=3\sqrt{\dfrac{17}{3}+\sqrt{21-4\sqrt{5}}}$$ $$\sqrt{21-4\sqrt{5}}=|y-z\sqrt5|\Rightarrow 21-4\sqrt5=y^2+5z^2-2yz\sqrt5$$ ба $y$, $z$ нь бүхэл тоонууд тул $y^2+5z^2=21$, $yz=2$ байна. Эндээс $$(y,z)=(1,2)\lor(-1,-2)$$ болохыг $y$, $z$ нь 2-ийн бүхэл хуваагч болохыг ашиглан хялбархан шалгаж болно. Иймд $$\sqrt{21-4\sqrt{5}}=|1-2\sqrt5|=2\sqrt5-1$$ ба $$3\sqrt{\dfrac{17}{3}+\sqrt{21-4\sqrt{5}}}=3\sqrt{\dfrac{17}{3}+2\sqrt5-1}=\sqrt{42+36\sqrt{5}}$$ байна. Эндээс бид дараах чанартай $u$, $v$ натурал тоонуудыг олох шаардлагатай: $$\sqrt{42+36\sqrt{5}}=u\sqrt3+\sqrt{v}\Rightarrow 3u^2+v=42, 2u\sqrt{3v}=36\sqrt{5}$$ $3u^2<42\Rightarrow u<\sqrt{14}$ тул $u=1,2,3$ байх боломжтой. Эдгээрээс $u=3$, $v=15$ гэсэн шийд гарч байна.